Синергетика

Хакен Г. (H.Haken)

Одно из самых поразительных явлений и наиболее интригующая из проблем, с которыми сталкиваются ученые, — это спонтанное образование высокоупорядоченных структур из зародышей или даже из хаоса. Монография известного западногерманского физика-теоретика, профессора Штутгартского университета Г. Хакена, посвящена синергетике — относительно новой дисциплине, возникшей на стыке нескольких наук (физики, химии, биологии, социологии и т. д.). В рамках синергетики изучается такое совместное действие отдельных частей какой-либо неупорядоченной системы, в результате которого происходит самоорганизация — возникают макроскопические пространственные, временные или пространственно-временные структуры, причем рассматриваются как детерминированные, так и стохастические процессы. Изучается и обратное явление — переход от упорядоченного состояния к хаосу. В книге одного из ярких фундаторов синергетического направления в науке даны основы математического описания коллективных процессов в различных системах с приложениями к задачам физики, химии, биологии.

---

Table of contents :
 
Предисловие.
Глава 1. Цель.
Почему следует прочесть эту книгу.
1.1. Порядок и беспорядок. Несколько типичных примеров.
1.2. Некоторые типичные задачи и трудности.
1.3. План изложения материала.
Глава 2. Вероятность.
Чему мы можем научиться из азартных игр.
2.1. Объект нашего исследования, выборочное пространство.
2.2. Случайные величины.
2.3. Вероятность.
2.4. Распределение.
2.5. Случайные величины и плотность вероятности.
2.6. Совместная вероятность.
2.7. Математической ожидание Е(Х) и моменты.
2.8. Условные вероятности.
2.9. Независимые и зависимые случайные величины.
2.10. Производящие функции и характеристические функции.
2.11. Специальный случай распределения вероятностей, биноминальное распределение.
2.12. Распределение Пуассона.
2.13. Нормальное (гауссово) распределение.
2.14. Формула Стирлинга.
2.15. Центральная предельная теорема.
Глава 3. Информация.
Как далеко может забрести пьяный.
3.1. Некоторые основные идеи.
3.2. Прирост информации, иллюстрация.
3.3. Информационная энтропия и ограничения.
3.4. Пример из физики, термодинамика.
3.5. Элементы термодинамики необратимых процессов.
3.6. Энтропия – проклятие статистической механики?.
Глава 4. Случайность.
Как далеко может забрести пьяный.
4.1. Модель броуновского движения.
4.2. Модель случайного блуждания и соответствующее кинетическое уравнение.
4.3. Совместная вероятность и траектории. Марковские процессы. Уравнение Чепмена-Колмогорова. Интегралы по траекториям.
4.4. Как использовать совместные распределения вероятностей. Моменты. Характеристическая функция. Гауссовы процессы.
4.5. Кинетическое уравнение.
4.6. Точное стационарное решение кинетического уравнения для систем с детальным равновесием.
4.7. Кинетическое уравнение для системы с детальным равновесием. Систематизация. Собственные значения и собственные состояния.
4.8. Метод Кирхгофа решения кинетического уравнения.
4.9. Теоремы о решениях кинетического уравнения.
4.10. Смысл случайных процессов. Стационарное состояние, функции, время возвращения.
4.11. Кинетическое уравнение и ограниченность термодинамики необратимых процессов.
Глава 5. Необходимость.
Старые структуры уступают место новым.
5.1. Динамические процессы.
5.2. Критические точки и траектории на фазовой плоскости. Еще раз о предельных циклах.
5.3. Устойчивость.
5.4. Примеры и упражнения на бифуркацию и устойчивость.
5.5. Классификация статистических неустойчивостей или элементарный подход к теории катастроф Тома.
Глава 6. Случайность и необходимость.
Реальный мир нуждается в том и в другом.
6.1. Уравнения Ланжевена, пример.
6.2. Резервуары и случайные силы.
6.3. Уравнение Фоккера-Планка.
6.4. Некоторые свойства и стационарные решения уравнения Фокера-Планка.
6.5. Зависящие от времени решения уравнения Фоккера-Планка.
6.6. Решение уравнения Фоккера-Планка с помощью интегралов по траекториям.
6.7. Аналогия с фазовыми переходами.
6.8. Аналогия с фазовыми переходами в непрерывной среде, параметр порядка, зависящий от пространственных координат.
Глава 7. Самоорганизация.
Долгоживущие системы подчиняют себе короткоживущие системы.
7.1. Организация.
7.2. Самоорганизация.
7.3. Роль флуктуации, надежность или адаптивность? Переключение.
7.4. Адиабатическое исключение быстро релаксирующих переменных из уравнения Фоккура-Планка.
7.5. Адиабатическое исключение быстро релаксирующих переменных из кинетического уравнения.
7.6. Самоорганизация в непрерывно распределенных средах. Основные черты математического описания.
7.7. Обобщенные уравнения Гинзбурга-Ландау для неравновесных фазовых переходов.
7.8. Вклады высших порядков в обобщенные уравнения Гинзбурга-Ландау.
7.9. Скейлинговая теория непрерывно распределенных неравновесных систем.
7.10. Неустойчивость типа мягкой моды.
7.11. Неустойчивость типа жесткой моды.
Глава 8. Физические системы.
8.1. Кооперативный эффект в лазере, самоорганизация и фазовый переход.
8.2. Уравнения лазера в модовом представлении.
8.3. Понятие порядка.
8.4. Одномерный лазер.
8.5. Многомодовый лазер.
8.6. Многомодовый лазер с непрерывным распределением мод. Аналогия со сверхпроводимостью.
8.7. Фазовый переход первого рода в одномерном лазере.
8.8. Иерархия неустойчивости в лазере и ультракороткие лазерные импульсы.
8.9. Неустойчивость в гидродинамике, проблемы Бенара и Тейлора.
8.10. Основное уравнение.
8.11. Затухающие и нейтральные решения.
8.12. Решения в близи (область нелинейности). Эффективные уравнения Ланжевена.
8.13. Уравнения Фоккура-Планка и его стационарное решение.
8.14. Модель статистической динамики неустойчивости Ганна вблизи порога.
8.15. Устойчивость упругих конструкций, некоторые основные идеи.
Глава 9. Химические и биологические системы.
9.1. Химические и биологические реакции.
9.2. Детерминированные процессы без диффузии. Случай одной переменной.
9.3. Реакция и уравнения диффузии.
9.4. Модель реакции с диффузией в случае двух или трех переменных, брюсселятор и орегонатор.
9.5. Стохастическая модель химической реакции без диффузии. Процессы рождения и гибель. Случай одной переменной.
9.6. Стохастическая модель химической реакции с диффузией. Случай одной переменной.
9.7. Стохастическое рассмотрение брюсселятора вблизи неустойчивости типа мягкой моды.
9.8. Химические цепи.
Глава 10. Приложение к биологии.
10.1. Экология. Динамика популяций.
10.2. Стохастическая модель системы хищник-жертва.
10.3. Простая математическая модель процессов эволюции.
10.4. Модель морфогенеза.
10.5. Параметры порядка и морфогенез.
10.6. Некоторые замечания относительно моделей морфогенеза.
Глава 11. Социология, стохастическая модель формирования общественного мнения.
Глава 12. Хаос.
12.1. Что такое хаос?
12.2. Модель Лоренца.
12.3. Как возникает хаос.
12.4. Хаос и нарушение принципа подчинения параметру порядка.
12.5. Корреляционная функция и частное распределение.
12.6. Другие параметры хаотического движения.
Глава 13. Некоторые замечания исторического характера и перспективы.
Основная и дополнительная литература и комментарии.