Introduction a la Topologie

Nier F., Iftimie D.

Ce cours de topologie a été dispensé en licence à l’Université de Rennes 1 de 1999 à 2002. Toutes les structures permettant de parler de limite et de continuité sont d’abord dégagées, puis l’utilité de la compacité pour ramener des problèmes de complexité infinie à l’étude d’un nombre fini de cas est explicitée. Les premiers rudiments d’analyse fonctionnelle sont ensuite introduits : prédiction de l’existence de la limite d’une suite dans un espace bien défini ; contrôle uniforme d’une régularité… Ce cours se termine sur la généralisation à la dimension infinie de la notion d’espace euclidien. Il comprend de nombreux exemples et environ 150 exercices non corrigés.

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Table of contents :
Définitions……Page 9
Parties bornées, fonctions bornées……Page 10
Exemples……Page 11
Norme, espaces vectoriels normés……Page 13
Topologie des espaces métriques……Page 15
Fermés……Page 16
Voisinages……Page 17
Bases d’ouverts, bases de voisinages……Page 18
Sous-espaces topologiques……Page 19
Adhérence……Page 21
Intérieur……Page 22
Frontière……Page 23
Limite d’une suite……Page 24
Espace topologique séparé, unicité de la limite……Page 25
Limite et adhérence……Page 26
Limite d’une fonction……Page 27
Continuité en un point……Page 29
Propriétés……Page 30
Continuité globale……Page 31
Uniforme continuité et Lipschitz continuité……Page 32
Prolongement par continuité……Page 34
Limite uniforme de fonctions continues……Page 36
Topologies plus ou moins fines……Page 37
Equivalences de distances……Page 38
Définition……Page 39
Topologie produit et continuité……Page 40
Produit d’espaces métriques……Page 43
Topologie produit et convergence simple……Page 44
Topologie quotient……Page 45
Définition……Page 49
Exemple fondamental : les connexes de R…….Page 50
“Union”……Page 51
Adhérence……Page 52
Produit……Page 53
Connexité par arcs……Page 54
Définitions……Page 55
Compacité des espaces métriques……Page 56
Compacts et fermés……Page 59
Union, intersection, produit……Page 60
Image d’un compact……Page 62
Espaces localement compacts……Page 63
Définitions……Page 65
Exemples……Page 66
Applications linéaires continues……Page 67
Algèbre normée……Page 69
Dimension finie, dimE=n