Основы вариационного исчисления

Лаврентьев М., Люстерник Л.

Первая часть “Основ вариационных исчислений”, посвященная функциям конечного числа переменных и их экстремумам, вышла отдельной книжкой. Настоящая книга, II – IV части, содержит несколько расширенный университетский курс. Мы начинаем ее с “Основных понятий и методов вариационного исчисления”. На этой части (II) мы сознательно остановились более подробно, так как, с одной стороны, эти понятия имеют фундаментальное значение в анализе вообще; с другой стороны, овладение основными понятиями и методами математической дисциплины не менее важно, чем овладение ее рецептурой. Начало II части естественно примыкает к I части: вариационные задачи здесь рассматриваются как предельные задачи на экстремум функций конечного числа переменных. Сначала решаются отдельные частные вариационные задачи, затем делается переход к решению общей задачи. Подобные элементарные методы (конечно в другом изложении – инфинитезимальном) были характерны для первого развития вариационного исчисления. Но и после создания более общих формализированных методов элементарные приемы могут иметь преимущество при решении отдельных задач. Теорию функции конечного числа переменных мы начинали с n-мерной геометрии, рассматривая функции многих переменных как функции точки в n-мерных пространствах. Вариационное исчисление расширяет понятие функции. Современная геометрия соответственным образом обобщает основные геометрические понятия. В главе VI (и в начале главы VII) мы приводим элементы абстрактной геометрии. Вариационное исчисление с точки зрения современной математики есть дифференциальное исчисление для функций более общей природы, развертывающейся га пространствах более общей природы. Часть III изучает основные классические вариационные задачи с точки зрения необходимых условий. Глава XIII части IV содержит теорию второй вариации для простейшей и изопериметрической задачи. С нею связаны дифференциальные уравнения Штурма – Лиувилля. Наряду с теорией слабого экстремума и сопряженных точек, в ней приводится экстремальная теория собственных значений Куранта. В ней же иллюстрируется предельный переход от функции конечного числа переменных к функционалам. Глава XIV содержит излагаемую в геометрической форме теорию поля и достаточные условия Вейерштрасса.