Analyse 2

Giroux A.

L’analyse mathématique est l’étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul intégral. On y présente d’abord la définition et les propriétés de l’intégrale d’une fonction continue d’une variable réelle. On utilise ensuite cet outil pour introduire les fonctions élémentaires usuelles de l’analyse, à savoir le logarithme, l’exponentielle, les fonctions trigonométriques directes et inverses et la fonction gamma. On y étudie enfin la représentation de ces fonctions par des séries de Taylor et des séries de Fourier. Il s’agit d’un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il s’agit aussi comme son nom l’indique d’un deuxième cours d’analyse, qui suppose que l’on connaît déjà les propriétés des fonctions continues et des fonctions dérivables, telles que présentées par exemple dans le cours Analyse 1.

---

Table of contents :
INTRODUCTION……Page 5
Exercices 1……Page 7
La continuité uniforme……Page 8
Définition de l’intégrale……Page 9
Propriétés de l’intégrale……Page 13
Exercices 2……Page 16
Le théorème fondamental du calcul……Page 18
Propriétés supplémentaires de l’intégrale……Page 20
Exercices 3……Page 23
Le logarithme……Page 25
La fonction exponentielle……Page 28
Exposants irrationnels……Page 30
Les fonctions hyperboliques……Page 31
Exercices 4……Page 33
Définition des fonctions trigonométriques……Page 37
Propriétés des fonctions trigonométriques……Page 40
Les fonctions trigonométriques inverses……Page 42
La notion d’angle……Page 44
Exercices 5……Page 48
Primitives des fonctions analytiques usuelles……Page 51
Primitives des fonctions rationnelles……Page 54
Exercices 6……Page 56
Généralisation de l’intégrale……Page 59
La fonction gamma……Page 63
Exercices 7……Page 67
La convergence uniforme……Page 70
L’approximation des fonction continues……Page 75
Les séries entières……Page 77
Exercices 8……Page 82
Développements limités……Page 85
Notations de Landau……Page 89
Séries infinies……Page 90
Exercices 9……Page 96
La série de Fourier……Page 98
Théorèmes de convergence……Page 102
L’approximation des fonctions continues périodiques……Page 108
Exercices 10……Page 110