Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.
Table of contents :
Титульный лист ……Page 1
ОГЛАВЛЕНИЕ ……Page 3
Предисловие ……Page 9
Введение ……Page 11
1. Введение ……Page 19
5. Разбиение области $G$ фазовой плоскости на траектории. Некоторые элементарные сведения о траекториях ……Page 20
3. Простейшие свойства решений системы (I) ……Page 21
4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости $(x,y)$ ……Page 24
6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве $mathbb{R}^3$ и геометрической интерпретации на фазовой плоскости ……Page 30
7. Направление на траектории. Изменение параметризации ……Page 31
8. Терминология и обозначения ……Page 34
9. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений ……Page 36
10. Замена переменных ……Page 37
11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе ……Page 38
13. Понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл», использующиеся в классической литературе при рассмотрении аналитических систем ……Page 41
14. Примеры ……Page 43
15. Замечания по поводу примеров ……Page 56
2. Определение динамической системы на сфере ……Page 58
4. Решения и траектории динамической системы на сфере ……Page 61
5. Примеры динамических систем на сфере ……Page 66
Введение ……Page 69
1. Дуга без контакта ……Page 71
3. Пересечение траектории с дугой без контакта ……Page 73
4. Расположение траекторий в окрестности дуги без контакта ……Page 74
5. Некоторые свойства функций $Phi(t,s)$, $Psi(t,s)$ ……Page 77
6. Траектории, пересекающие две дуги без контакта. Функция соответствия ……Page 81
7. Случай, когда траектория имеет с дугой без контакта более одной общей точки ……Page 86
8. Функция последования ……Page 90
9. Замкнутые кривые, составленные из дуги траектории и дуги без контакта, и ограниченные ими области ……Page 92
10. Цикл без контакта ……Page 95
11. Семейство циклов без контакта. Траектории, входящие в область, заполненную циклами без контакта ……Page 96
12. Цикл однократного пересечения ……Page 97
13. Дифференцирование функции в силу системы (I) ……Page 98
14. Цикл без контакта между двумя последовательными витками траектории, пересекающей дугу без контакта ……Page 99
1. Предельные точки полутраектории и траектории ……Page 102
3. Основные свойства множества предельных точек ……Page 104
4. Свойства траекторий, характерные для динамических систем на плоскости или на сфере ……Page 106
5. Некоторые свойства предельных траекторий ……Page 109
6. Предельные траектории динамических систем, имеющих конечное число состояний равновесия. Возможные типы траекторий ……Page 112
7. Теорема о наличии состояния равновесия внутри замкнутой траектории ……Page 114
8. Основная теорема о состоянии равновесия ……Page 118
9. Изолированная замкнутая траектория — предельный цикл. Возможное расположение траекторий в окрестности предельного цикла ……Page 119
1. Введение ……Page 122
2. Топологическая структура динамической системы ……Page 124
3. Локальная топологическая структура ……Page 131
4. Свойства разбиения на траектории в целом и эффективные методы качественного исследования ……Page 133
Введение ……Page 135
1. Аналитические условия, характеризующие простое состояние равновесия ……Page 137
2. Приведение динамической системы в окрестности простого состояния равновесия к каноническому виду ……Page 139
3. Инвариантность характеристического уравнения при регулярном преобразовании ……Page 144
4. Некоторые предварительные замечания относительно возможной топологической структуры простых состояний равновесия ……Page 145
1. Случай 1): характеристические корни $lambda_1$ и $lambda_2$ действительны и одинаковых знаков (состояние равновесия типа узел) ……Page 146
2. Случай 2): характеристические корни — комплексные сопряженные: $lambda_1=alpha+ibeta$, $lambda_2=alpha-ibeta$, $betaneq О$, $alphaneq 0$ (состояние равновесия типа фокус) ……Page 151
3. Случай 3): характеристические корни $lambda_1$ и $lambda_2$ действительны и различных знаков, т. е. $lambda_1lambda_2 < О $ (состояние равновесия типа седло) ……Page 153
4. Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия ……Page 160
5. Замечания по поводу других методов исследования характера состояний равновесия с не равными нулю действительными частями характеристических корней ……Page 161
6. Примеры ……Page 162
7. Простейшие примеры сложных состояний равновесия ……Page 164
2. Переход к полярной системе координат ……Page 166
3. Сопоставление траекторий Системы (I) и интегральных кривых уравнения (7) ……Page 170
4. Построение функции последования на полупрямой $theta=const$ ……Page 172
5. Возможный характер отдельной траектории, проходящей через точку достаточно малой окрестности состояния равновесия ……Page 174
6. Возможный характер разбиения на траектории достаточно малой окрестности состояния равновесия $O$ ……Page 176
7. Примеры ……Page 179
1. Основное определение ……Page 182
2. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может стремиться к простому состоянию равновесия ……Page 185
3. Узел с различными характеристическими корнями ……Page 187
4. Дикритический узел ……Page 191
5. Вырожденный узел ……Page 195
6. Седло и фокус ……Page 199
7. Сводка сведений о простых состояниях равновесия с не равными нулю действительными частями характеристических корней ……Page 200
8. Примеры ……Page 203
1. Вращение векторного поля ……Page 205
2. Индекс простой замкнутой кривой по отношению к заданному на ней векторному полю ……Page 208
3. Поле касательных к замкнутой кривой ……Page 212
4. Определение индекса, данное Пуанкаре ……Page 213
2. Индекс изолированной особой точки ……Page 214
3. Индекс как криволинейный интеграл ……Page 216
4. Вычисление индексов простых состояний равновесия динамической системы ……Page 217
Введение ……Page 220
1. Некоторые общие замечания о кольцеобразных областях, заполненных замкнутыми траекториями ……Page 223
2. Случай, когда об отсутствии предельных циклов можно заключить непосредственно на основании расположения изоклин горизонтальных и вертикальных наклонов и характера поля между ними ……Page 224
3. Критерий Дюлака и Бендиксона ……Page 226
4. Применение индексов Пуанкаре и циклов однократного пересечения к решению вопросов существования предельных циклов ……Page 229
5. Топографическая система кривых и контактная кривая ……Page 231
6. Примеры ……Page 232
1. Общие замечания. Преобразование Бендиксона ……Page 237
2. Рассмотрение динамической системы, правые части которой многочлены на «сфере Пуанкаре» ……Page 241
1. Общие замечания ……Page 249
2. Метод изоклин ……Page 250
3. Специфика использования численных методов при определении качественной структуры разбиения на траектории ……Page 252
4. Случай, когда доказательство существования предельного цикла возможно при помощи приближенного построения дуг траекторий ……Page 253
5. Случай, когда топологическая структура разбиения на траектории принципиально не может быть установлена путем приближенного вычисления (построения) траекторий ……Page 254
Введение ……Page 256
1. Основные определения ……Page 257
2. Простейшие примеры орбитно-устойчивых и орбитно-неустойчивых траекторий ……Page 260
3. Возможные типы орбитно-неустойчивых полутраекторий и траекторий ……Page 262
4. Вспомогательные леммы о поведении полутраекторий в окрестности состояния равновесия ……Page 263
5. Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию равновесия ……Page 266
6. Сепаратрисы состояния равновесия ……Page 275
7. Некоторые вспомогательные предложения ……Page 277
8. Полутраектории, среди предельных точек которых есть отличные от состояний равновесия ……Page 280
9. Возможные типы особых и неособых траекторий в случае конечного числа состояний равновесия. Случай конечного числа особых траекторий ……Page 284
1. Вводные замечания ……Page 285
2. Нормальная граница ограниченной области $bar{G^ast}$, содержащейся в области определения динамической системы ……Page 286
3. Леммы о множестве точек, принадлежащих особым элементам ……Page 287
4. Доказательство конечности числа ячеек (в случае конечного числа особых элементов) ……Page 288
5. Случай динамической системы на сфере ……Page 290
6. Поведение траекторий, близких к орбитно-устойчивым траекториям ……Page 291
7. Некоторые предложения о незамкнутых орбитно-устойчивых траекториях ……Page 296
8. Возможный характер неособых элементов внутри одной и той же ячейки ……Page 299
9. Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями ……Page 300
10. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями ……Page 304
11. Свойства границы двусвязной ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями ……Page 307
12. Ячейки, в границу которых входят граничные дуги ……Page 313
13. Полное качественное исследование динамической системы. Схема динамической системы ……Page 315
Введение ……Page 316
1. Вспомогательные предложения ……Page 317
2. Возможный характер криволинейного сектора. Гиперболический (седловой), параболический и эллиптический сектор ……Page 322
3. Леммы об эллиптических областях ……Page 328
1. Проведение дуги без контакта в параболическом секторе ……Page 330
2. Проведение дуг без контакта в эллиптической области ……Page 336
3. Правильная седловая область ……Page 337
4. Топологическая тождественность разбиений на траектории элементарных областей одинакового типа ……Page 339
1. Циклический порядок сепаратрис и эллиптических областей состояния равновесия, не являющегося центром ……Page 346
2. Каноническая замкнутая кривая вокруг состояния равновесия ……Page 349
3. Локальная схема состояния равновесия, не являющегося центром ……Page 351
4. Полная (или глобальная) схема состояния равновесия, не являющегося центром ……Page 356
5. Состояние равновесия типа центр ……Page 360
Введение ……Page 362
1. Переход к полярным координатам ……Page 363
2. Общий случай ……Page 364
3. Особый случай ……Page 367
1. Вспомогательные преобразования и леммы ……Page 372
2. Возможные топологические структуры сложного состояния равновесия в случае $sigmaneq 0$ ……Page 377
1. Вспомогательные леммы ……Page 385
2. Возможные топологические структуры сложного состояния равновесия в случае $sigma=0$ ……Page 397
3. Упрощение исследования. Примеры ……Page 404
Введение ……Page 411
1. Свойства $omega$- и $alpha$-предельных континуумов, не являющихся состоянием равновесия ……Page 412
2. Нуль-предельные континуумы и их свойства ……Page 417
3. Теорема о континууме, состоящем из особых траекторий, являющихся продолжением одна другой ……Page 420
1. $omega(alpha)$-перечисление $omega$-, $alpha$- и 0-предельных континуумов ……Page 421
2. Тождественность перечислений двух предельных континуумов ……Page 423
3. «Односторонняя» каноническая окрестность предельного континуума ……Page 424
4. Локальные схемы $omega$-, $alpha$- и 0-предельных континуумов и теорема о тождественности разбиения на траектории канонических окрестностей континуумов с одинаковыми локальными схемами ……Page 426
1. Простые замкнутые кривые, образованные траекториями, составляющими предельный континуум ……Page 432
2. Односторонние и двусторонние предельные континуумы ……Page 435
3. Взаимное расположение континуумов и их канонических кривых ……Page 439
4. Свободные и несвободные континуумы ……Page 441
5. Полная (глобальная) схема предельного континуума ……Page 442
1. Угловые точки граничных кривых ……Page 447
2. Схема граничной кривой, схема границы и тождественность двух схем границы ……Page 449
Введение ……Page 453
2. Правильные системы канонических окрестностей ……Page 454
3. Элементарные дуги и свободные циклы без контакта ……Page 458
4. Сопряженные элементарные $omega$- и $alpha$-дуги и сопряженные свободные $omega$- и $alpha$-циклы ……Page 461
1. Взаимное расположение двух свободных сопряженных $omega$- и $alpha$-циклов ……Page 463
2. Сопряженные $omega$- и $alpha$-предельные континуумы ……Page 465
3. Сопряженные нуль-предельные континуумы ……Page 466
4. Траектории, проходящие через концы сопряженных $omega$- и $alpha$-дуг ……Page 467
5. Леммы о граничных особых элементах и $omega$- и $alpha$-дугах, являющихся частями граничных дуг без контакта ……Page 469
6. Цепочки из особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных $omega$- и $alpha$-дуг ……Page 472
7. Области между сопряженными каноническими кривыми и между сопряженными элементарными дугами ……Page 478
1. Схема динамической системы ……Page 481
2. Соответствие по схеме между каноническими кривыми и дугами канонических кривых ……Page 486
3. Сопряженные $omega$- и $alpha$-дуги двух систем $D$ и $D’$ с тождественными схемами ……Page 488
4. Основная теорема ……Page 490
5. Схема динамической системы на сфере. Схема динамической системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу Пуанкаре ……Page 497
§ 30. Примеры ……Page 499
3. Точка сгущения, граничная и внутренняя точка множества ……Page 519
7. Области с общей границей ……Page 520
11. Отображение множеств друг на друга ……Page 521
15. Простая дуга ……Page 522
2. Леммы о простой замкнутой кривой ……Page 523
5. Ориентация плоскости ……Page 525
6. Некоторые предложения о направлениях обхода простых замкнутых кривых, имеющих общую дугу или общую точку ……Page 527
8. Два типа топологических отображений плоскости в себя (сохраняющие ориентацию и изменяющие ориентацию) ……Page 528
1. Области, характеризующие различные «стороны» простой дуги ……Page 529
2. Определение областей, характеризующих различные стороны простой дуги, с помощью введения криволинейной системы координат ……Page 531
4. Ограниченные области на плоскости ……Page 532
2. Лемма Адамара ……Page 533
3. Теорема о неявных функциях ……Page 534
3. Гладкан простая замкнутая кривая и кусочно-гладкая простая замкнутая кривая ……Page 536
5. Гладкие простые дуги, имеющие общую точку ……Page 537
1. Регулярное отображение ……Page 538
2. Криволинейные координаты ……Page 539
3. Преобразование компонент вектора при регулярном отображении. Контравариантный вектор. Преобразование касательного вектора ……Page 540
5. Использование регулярного отображения при рассмотрении областей, характеризующих различные стороны простой гладкой дуги ……Page 541
6. Один способ введения функций $x=phi(s,t)$, $y=psi(s,t)$ ……Page 542
7. Пересечение двух гладких дуг и пересечения гладкой дуги с гладкой и кусочно-гладкой простой замкнутой кривой ……Page 544
8. Два предложения о построении функций по заданным условиям ……Page 545
1. Окрестность точки сферы ……Page 547
3. Покрытие сферы и координаты на сфере ……Page 548
4. Одно частное простейшее координатное покрытие сферы ……Page 550
6. Функции, заданные на сфере ……Page 551
1. Теорема о существовании и единственности решения ……Page 552
3. Производные по независимому переменному и по начальным значениям ……Page 553
1. Сопоставление инвариантов топологических и регулярных отображений ……Page 554
2. Различные подходы к выделению областей, заполненных траекториями «одинакового поведения» ……Page 555
4. Геометрический пример А.Г.Майера всюду плотного множества орбитно-неустойчивых траекторий — сепаратрис состояния равновесия ……Page 557
§ 10. Теорема Бендиксона об индексе сложного состояния равновесия ……Page 559
Литература ……Page 563
Алфавитный указатель ……Page 566
Reviews
There are no reviews yet.