Математика XIX века. Книга 3. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей

Колмогоров А.Н., Юшкевич А.П. (ред.)

Настоящее издание продолжает серию книг по истории математики XIX—XX вв., издаваемых Институтом истории естествознания и техники АН СССР под общей редакцией А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. Первая книга серии «Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей» вышла в свет в 1978 г., вторая «Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций» — в 1981 г. В настоящей книге анализируется развитие в XIX в. конструктивной теории функций, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и теории конечных разностей.

Книга рассчитана на специалистов-математиков, историков науки и студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов.

---

Table of contents :
Титульный лист ……Page 3
Выходные данные ……Page 4
Содержание ……Page 5
Предисловие ……Page 7
Введение ……Page 9
1.1. Лекции А. А. Маркова ……Page 12
1.2. Задачи Е. И. Золотарёва, неравенство В. А. Маркова ……Page 21
1.3. Чебышевская задача построения географических карт ……Page 36
2. О непрерывных дробях ……Page 39
2.1. Специальные системы ортогональных многочленов ……Page 49
2.2. Зависимость от параметров корней многочленов, получаемых при обращении рядов в непрерывные дроби ……Page 50
2.3. Исследования о предельных величинах интегралов ……Page 54
Заключение ……Page 72
1. Итоги развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII в. ……Page 80
Первый метод ……Page 83
Второй метод ……Page 85
2.2. Развитие метода мажорант ……Page 88
2.3. Метод Коши—Липшица ……Page 89
2.4. Метод последовательных приближений ……Page 91
3.1. Лиувилль и уравнение Риккати ……Page 94
Исследования Миндинга ……Page 98
Уравнение Дарбу ……Page 99
Метод последнего множителя Якоби ……Page 100
Уравнение Пфаффа ……Page 101
3.3. Софус Ли и проблема интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах ……Page 104
Феномен «особого решения» ……Page 109
Теория Лагранжа ……Page 110
Примеры Коши и Курно ……Page 111
Дарбу и его полемика с Каталаном ……Page 112
4. Линейные дифференциальные уравнения ……Page 113
Методы понижения порядка ……Page 114
Линейная независимость решений. Определитель Вронского ……Page 115
Символическое исчисление ……Page 116
Уравнения с постоянными коэффициентами. Методы Бриссона и Коши ……Page 120
Уравнения с постоянными коэффициентами. Методы Грегори и Буля ……Page 122
Уравнения с переменными коэффициентами. Работы Буля ……Page 123
Исчисление Хевисайда ……Page 125
Аналогия с алгебраическими уравнениями ……Page 128
Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами ……Page 130
4.2. Краевые задачи. Теория Штурма—Лиувилля ……Page 132
Работы Штурма ……Page 134
Работы Лиувилля ……Page 136
Дальнейшее развитие теории Штурма—Лиувилля ……Page 137
Уравнение цилиндрических функций ……Page 139
Исследования Сонина по теории цилиндрических функций ……Page 141
Уравнение сферических функций ……Page 142
Гипергеометрическое уравнение ……Page 145
Другие уравнения, определяющие специальные функции ……Page 147
5.1. Начало теории Коши. Работы Брио и Буке ……Page 149
5.2. Б. Риман ……Page 151
5.3. Л. Фукс ……Page 154
5.4. А. Пуанкаре ……Page 157
5.5. Нелинейные уравнения ……Page 158
5.6. Исследования русских математиков ……Page 160
5.7. П. Пенлеве ……Page 161
Начало качественной теории ……Page 162
Мемуар Пуанкаре 1881—1886 гг. ……Page 165
Последующие результаты Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений ……Page 171
А. М. Ляпунов ……Page 172
Исследования по теории устойчивости систем с конечным числом степеней свободы до Пуанкаре и Ляпунова ……Page 173
Первый метод ……Page 175
Второй метод ……Page 177
Правильные системы ……Page 179
Заключение ……Page 180
Введение ……Page 184
1. Вариационное исчисление в первой половине XIX в ……Page 185
1.1. Теория экстремумов кратных интегралов ……Page 187
1.2. Теория Гамильтона—Якоби ……Page 191
1.3. Достаточные условия слабого экстремума ……Page 193
2. Вариационное исчисление во второй половине XIX в ……Page 202
2.1. Доказательства критерия Якоби и его уточнения. Проблема различения слабого и сильного экстремумов ……Page 203
2.2. Вариационное исчисление Вейерштрасса ……Page 207
2.3. Теория простейшей вариационной задачи во второй половине XIX в. ……Page 212
2.4. Создание теории поля ……Page 216
2.5. Изопериметрическая задача ……Page 223
2.6. Задача Лагранжа. Проблемы Майера и Больца ……Page 227
Заключение. О некоторых направлениях в развитии вариационного исчисления на рубеже XIX и XX вв. ……Page 234
1.1. Конечная интерполяция ……Page 240
1.2. Интерполяционные ряды Лапласа ……Page 243
1.3. Интерполяционные ряды Абеля ……Page 246
1.4. Оценка остаточного члена в интерполяционной формуле Лагранжа ……Page 250
Вычеты у Коши и интерполяционная задача ……Page 255
Исследования Фробениуса сходимости интерполяционных рядов ……Page 257
Интерполяционная задача с кратными узлами у Эрмита ……Page 259
Дальнейшие исследования интерполяционных рядов ……Page 261
2.1. Задача суммирования ……Page 263
2.2. Полусходящиеся ряды. Исследования Лежандра ……Page 267
2.3. Вывод Пуассоном формулы суммирования с остаточным членом ……Page 269
2.4. Вывод Абеля ……Page 272
2.5. Вывод Якоби. Условия обвертываемости ……Page 273
2.6. Формула суммирования у Остроградского ……Page 275
3.1. Постановка задачи. Итоги развития теории в XVIII в. ……Page 276
3.2. Методы Лапласа ……Page 278
Заключение ……Page 283
Библиография ……Page 286
Указатель имен ……Page 312