Теория интеграла

Сакс С. (Saks)

Убитый в варшавском гестапо в ноябре 1942 г. Станислав Сакс принадлежал к числу наиболее выдающихся польских
математиков. Его книга, предлагаемая в русском переводе советским читателям, представляет собой одно из лучших в зарубежной литературе краткое и в то же время весьма исчерпывающее изложение основных разделов современной теории функций действительных переменных. В соответствии с потребностями функционального анализа, теории динамических систем и теории вероятностей книга начинается главой, содержащей на 38 страницах изложение общей теории интеграла Лебега Г/Ф с произвольной мерой (т. е. вполне аддитивной неотрицательной функцией множеств) |х, заданной на произвольном, вполне аддитивном, семействе множеств. Здесь, в частности, доказывается основная для всей этой теории теорема Радона — Никодима (§ 14), по поводу которой ранее приходилось обращаться к журнальной литературе. Логически к этой же первой главе примыкают § 8 главы второй (где доказывается, в весьма общих предположениях, теорема Фубини) и приложение 2, принадлежащее перу покойного львовского математика Стефана Банаха. Главы II, III и IV содержат теорию меры и интеграла Лебега в метрических пространствах, эвклидовом пространстве любого числа измерений и специально на числовой прямой. К этим главам примыкает приложение 1, также написанное С, Банахом, посвященное мерам, удовлетворяющим требованию равенства мер для конгруэнтных множеств. Изложенные здесь результаты, принадлежащие самому Банаху, содержат в себе как частный случай основную теорему Хаара о мерах в группах. Перечисленными четырьмя главами заканчивается, так сказать, „общая часть” книги. Изложенный в них материал кроме некоторых деталей нужен и интересен каждому современно образованному математику. От этой общей части теории интегрирования можно двигаться в разных направлениях. Автор книги, в соответствии со своими собственными научными интересами, выбрал два таких направления: свойства функций двух переменных и теория площадей поверхностей (главы V и IX) и теорию интегралов Перрона и Данжуа (главы VI, VII,
VIII, IX). В обоих этих направлениях много сделано советскими математиками, и автор книги в ряде параграфов излагает результаты Лузина, Хинчина, Александрова, Степанова. Книгу нельзя рекомендовать для первого ознакомления с идеями интегрирования по Лебегу, так как неподготовленный читатель за чрезмерно общими формулировками не рассмотрит их богатого конкретного содержания. Но для лиц, уже знакомых с элементарным курсом теории функций действительного переменного, книга Сакса явится чрезвычайно ценным пособием.
Текст автора переведен без каких-либо изменений. Лишь в § 8 главы пятой пропущена одна теорема, оказавшаяся
ошибочной*. Перевод настоящей книги выполнен И. С. Березиным (главы I, II, V, VI, VII, VIII), Б. М. Будаком (гл. IV, IX) и Л. А. Гусаровым (гл. III).

скриншоты

---

Table of contents :
От издательства……Page 5
Из предисловия к первому изданию……Page 7
Предисловие ко второму изданию……Page 10
§ 1. Введение……Page 11
§ 2. Терминология и обозначения……Page 15
§ 3. Абстрактное пространство $X$……Page 17
§ 4. Аддитивные классы множества……Page 19
§ 5. Аддитивные функции множеств……Page 20
§ 6. Вариация аддитивной функции……Page 23
§ 7. Измеримые функции……Page 26
§ 8. Элементарные операции над измеримыми функциями……Page 29
§ 9. Мера……Page 31
§ 10. Интеграл……Page 37
§ 11. Основные свойства интеграла……Page 38
§ 12. Интегрирование последовательностей функций……Page 46
§ 13. Абсолютная непрерывность аддитивных функций множеств……Page 51
§ 14. Лебеговское разложение аддитивных функций……Page 54
§ 15. Преобразование меры……Page 60
§ 2. Метрическое пространство……Page 64
§ 3. Непрерывные и полунепрерывные функции……Page 68
§ 4. Мера Каратеодори……Page 70
§ 5. $A$-операция……Page 76
§ 6. Регулярные множества……Page 80
§ 7. Борелевские множества……Page 82
§ 8. Длина множества……Page 84
§ 9. Полные пространства……Page 86
§ 1. Эвклидовы пространства……Page 89
§ 2. Сегменты и фигуры……Page 90
§ 3. Функции сегмента……Page 93
§ 4. Функции сегмента аддитивные и ограниченной вариации……Page 95
§ 5. Интеграл Лебега—Стилтьеса. Мера и интеграл Лебега……Page 100
§ 6. Мера, определенная с помощью неотрицательной аддитивной функции сегмента……Page 105
§ 7. Теоремы Лузина и Витали—Каратеодори……Page 112
§ 8. Теорема Фубини……Page 118
§ 9. Теорема Фубини в абстрактных пространствах……Page 127
§ 10. Геометрическое определение интеграла Лебега—Стилтьеса……Page 136
§ 11. Переносы множеств……Page 139
§ 12. Абсолютно непрерывные функции сегмента……Page 142
§ 13. Функции действительного переменного……Page 147
§ 14. Интегрирование по частям……Page 156
§ 1. Введение……Page 161
§ 2. Производные числа функции множества и сегмента……Page 162
§ 3. Теорема Витали о покрытии……Page 167
§ 4. Теоремы об измеримости производных чисел……Page 172
§ 5. Теорема Лебега……Page 175
§ 6. Диференцирование неопределенного интеграла……Page 179
§ 7. Лебеговское разложение……Page 181
§ 8. Спрямляемые кривые……Page 185
§ 9. Теорема Валле-Пуссена……Page 190
§ 10. Точки плотности……Page 195
§ 11. Теорема Варда о диференцировании аддитивной функции сегмента……Page 201
§ 12. Теорема Харди—Литтльвуда……Page 213
§ 13. Сильное диференцирование неопределенного интеграла……Page 220
§ 14. Симметрические производные числа……Page 224
§ 15. Диференцирование в абстрактных пространствах……Page 229
§ 16. Торовидное пространство……Page 235
§ 1. Предварительные замечания……Page 243
§ 2. Площадь поверхности……Page 245
§ 3. Интеграл Бёркиля……Page 246
§ 4. Ограниченность вариации и абсолютная непрерывность функций двух переменных……Page 251
§ 5. Выражения Гёце……Page 254
§ 6. Интегралы выражений Гёце……Page 258
§ 7. Теорема Радо f ,……Page 262
§ 8. Теорема Тонелли……Page 267
§ 1. Введение……Page 269
§ 2. Диференцирование относительно нормальной последовательности сетей……Page 271
§ 3. Мажорантные и минорантные функции……Page 275
§ 4. Диференцирование относительно бинарной последовательности сетей……Page 276
§ 5. Применения к функциям комплексного переменного……Page 281
§ 6. Интеграл Перрона……Page 289
§ 7. Производные числа функций действительного переменного……Page 293
§ 8. Интеграл Перрона—Стилтьеса……Page 298
§ 1. Введение……Page 307
§ 2, Теорема Лузина……Page 310
§ 3. Аппроксимативный предел и производная…….Page 315
§ 4. VB-функции и VBG-функции……Page 318
§ 5. AC-функции и ACG-функции……Page 321
§ 6. Условие (N) Лузина……Page 324
§ 7. VB*-функции и VBG*-функции……Page 329
§ 8. АС*-функции и ACG*-функции……Page 333
§ 9. Определения Данжуа — Лузина……Page 337
§ 10. Критерии принадлежности функции к классам VBG*, ACG*, VBG, ACG……Page 339
§ 1. Дескриптивное определение интегралов Данжуа……Page 348
§ 2. Интегрирование по частям……Page 352
§ 3. Теорема Хаке—Александрова—Лумана……Page 357
§ 4. Общее понятие интеграла……Page 366
§ 5. Конструктивное определение интегралов Данжуа……Page 370
§ 1. Некоторые элементарные теоремы……Page 375
§ 2. Контингенция множества……Page 378
§ 3. Основные теоремы о покрытиях плоских множеств……Page 380
§ 4. Теоремы Данжуа……Page 388
§ 5. Относительные производные числа……Page 393
§ 6. Банаховы условия ($T_1$) и ($T_2$)……Page 400
§ 7. Три теоремы Банаха……Page 408
§ 8. Суперпозиции абсолютно непрерывных функций……Page 414
§ 9. Условие ($D$)……Page 419
§ 10. Теорема Данжуа—Хинчина об аппроксимативных производных числах……Page 426
§ 11. Аппроксимативные частные производные числа функции двух переменных……Page 430
§ 12. Точный и аппроксимативный диференциалы……Page 433
§ 13. Основные теоремы о контингенциях множества в пространстве……Page 439
§ 14. Крайние диференциалы……Page 447
Приложение I. С. Банах. Мера Хаара……Page 454
Приложение II. С. Банах. Интеграл Лебега в абстрактном пространстве……Page 463
Библиография……Page 478
СОДЕРЖАНИЕ……Page 491