Geometry of differential forms

Shigeyuki Morita0821810456, 9780821810453

This work introduces the theory and practice of differential forms on manifolds and overviews the concept of differentiable manifolds, assuming a minimum of knowledge in linear algebra, calculus, and elementary topology. Chapters cover manifolds, differential forms, the de Rham theorem, Laplacian and harmonic forms, and vector and fiber bundles and characteristic classes. The text includes exercises and answers. First published in Japanese by Iwanami Shoten, Publishers, Tokyo, 1997, 1998.

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Table of contents :
Cover ……Page 1
Title page ……Page 2
Date-line ……Page 3
Contents ……Page 4
Preface ……Page 10
Preface to the English Edition ……Page 14
Outline and Goal of the Theory ……Page 16
1 ……Page 22
2 ……Page 23
3 ……Page 24
4 ……Page 25
6 ……Page 27
10 ……Page 31
11 ……Page 32
13 ……Page 34
16 ……Page 37
d) Submanifolds ……Page 40
21 ……Page 42
22 ……Page 43
23 ……Page 44
25 ……Page 46
27 ……Page 48
29 ……Page 50
33 ……Page 54
34 ……Page 55
36 ……Page 57
38 ……Page 59
39 ……Page 60
44 ……Page 65
46 ……Page 67
49 ……Page 70
51 ……Page 72
Summary ……Page 75
55 ……Page 76
57 ……Page 78
c) The exterior algebra ……Page 82
d) Various definitions of differential forms ……Page 87
69 ……Page 90
70 ……Page 91
72 ……Page 93
73 ……Page 94
77 ……Page 98
80 ……Page 101
82 ……Page 103
c) Proof of the Frobenius theorem ……Page 104
d) The Frobenius theorem Representation by differential forms ……Page 107
a) Differential forms with values in a vector space ……Page 110
90 ……Page 111
92 ……Page 113
93 ……Page 114
Chapter 3 The de Rham Theorem ……Page 116
96 ……Page 117
99 ……Page 120
100 ……Page 121
103 ……Page 124
104 ……Page 125
107 ……Page 128
109 ……Page 130
111 ……Page 132
113 ……Page 134
116 ……Page 137
119 ……Page 140
121 ……Page 142
126 ……Page 147
131 ……Page 152
133 ……Page 154
136 ……Page 157
c) Cohomology of compact Lie groups ……Page 158
138 ……Page 159
140 ……Page 161
Exercises ……Page 163
a) Riemannian metric ……Page 166
148 ……Page 169
150 ……Page 171
4.2 Laplacian and harmonic forms ……Page 174
a) The Hodge theorem and the Hodge decomoposition of differential forms ……Page 179
160 ……Page 181
162 ……Page 183
164 ……Page 185
165 ……Page 186
166 ……Page 187
167 ……Page 188
a) The tangent bundle of a manifold ……Page 190
170 ……Page 191
173 ……Page 194
180 ……Page 201
181 ……Page 202
183 ……Page 204
185 ……Page 206
186 ……Page 207
188 ……Page 209
d) Transformation rules of the local expressions for a connection and its curvature ……Page 211
e) Differential forms with values in a vector bundle ……Page 212
193 ……Page 214
b) Definition of Pontrjagin classes ……Page 218
201 ……Page 222
a) Connection and curvature in a complex vector bundle ……Page 225
205 ……Page 226
207 ……Page 228
208 ……Page 229
211 ……Page 232
c) Properties of the Euler class ……Page 235
216 ……Page 237
b) Characteristic classes of the complex projective space ……Page 244
225 ……Page 246
Summary ……Page 249
Exercises ……Page 250
a) Fiber bundle ……Page 252
233 ……Page 254
236 ……Page 257
238 ……Page 259
239 ……Page 260
240 ……Page 261
b) Euler class of an $S^1$ bundle ……Page 262
246 ……Page 267
d) Defining the Euler class for an $S^1$ bundle by using differential forms ……Page 270
254 ……Page 275
255 ……Page 276
a) Connections in general fiber bundles ……Page 278
260 ……Page 281
c) Differential form representation of a connection in a principal bundle ……Page 283
265 ……Page 286
268 ……Page 289
c) Exterior differentiation of the Weil algebra ……Page 291
275 ……Page 296
b) Invariant polynomials for Lie groups ……Page 300
c) Connections for vector bundles and principal bundles ……Page 303
d) Characterisric classes ……Page 305
a) Triviality of the cohomology of the Weil algebra ……Page 306
287 ……Page 308
Summary ……Page 312
Exercises ……Page 313
Perspectives ……Page 316
Chapter 1 ……Page 320
Chapter 2 ……Page 323
Chapter 3 ……Page 326
Chapter 4 ……Page 329
Chapter 5 ……Page 331
Chapter 6 ……Page 332
References ……Page 336
E ……Page 338
5 ……Page 26
15 ……Page 36
24 ……Page 45
101 ……Page 122
9 ……Page 30
43 ……Page 64
234 ……Page 255
20 ……Page 41
120 ……Page 141
58 ……Page 79
97 ……Page 118
17 ……Page 38
50 ……Page 71
154 ……Page 175
63 ……Page 84
14 ……Page 35
171 ……Page 192
276 ……Page 297
196 ……Page 217
45 ……Page 66
98 ……Page 119
232 ……Page 253
235 ……Page 256
74 ……Page 95
198 ……Page 219
226 ……Page 247
frame field ……Page 339
206 ……Page 227
60 ……Page 81
199 ……Page 220
175 ……Page 196
290 ……Page 311
209 ……Page 230
258 ……Page 279
264 ……Page 285
12 ……Page 33
67 ……Page 88
177 ……Page 198
252 ……Page 273
112 ……Page 133
114 ……Page 135
115 ……Page 136
87 ……Page 108
8 ……Page 29
152 ……Page 173
123 ……Page 144
176 ……Page 197
161 ……Page 182
147 ……Page 168
212 ……Page 233
213 ……Page 234
41 ……Page 62
59 ……Page 80
288 ……Page 309
172 ……Page 193
nonzero section ……Page 340
81 ……Page 102
88 ……Page 109
155 ……Page 176
227 ……Page 248
159 ……Page 180
289 ……Page 310
134 ……Page 155
256 ……Page 277
174 ……Page 195
259 ……Page 280
194 ……Page 215
168 ……Page 189
47 ……Page 68
53 ……Page 74
141 ……Page 162
139 ……Page 160
91 ……Page 112
195 ……Page 216
total space ……Page 341
42 ……Page 63
48 ……Page 69
163 ……Page 184
118 ……Page 139
200 ……Page 221
146 ……Page 167
106 ……Page 127
30 ……Page 51
7 ……Page 28
203 ……Page 224
zero section ……Page 342
37 ……Page 58
151 ……Page 172
278 ……Page 299