Немыцкий В., Слудская М., Черкасов А.
Table of contents :
Обложка……Page 1
Предисловие……Page 3
ОГЛАВЛЕНИЕ……Page 4
Критерий сходимости последовательности функций (критерий Коши)……Page 13
Предельная функция……Page 14
Классификация Бэра……Page 15
§2. Функциональный ряд……Page 16
Правильно сходящиеся ряды……Page 17
Равномерная сходимость……Page 18
Критерий Коши……Page 20
Равномерно сходящиеся ряды……Page 21
Связь между правильной и равномерной сходимостью……Page 22
Критерий Дирихле……Page 23
Сходимость некоторых тригонометрических рядов……Page 24
Абсолютная и равномерная сходимость……Page 25
Точки неравномерной сходимости……Page 26
Построение примеров неравномерно сходящихся рядов……Page 27
Ряд, неравномерно сходящийся в каждой точке……Page 28
Ряды непрерывных функций……Page 29
Переход к пределу в членах ряда……Page 30
Множества плотные и нигде неплотные……Page 31
Мера сходимости в точке……Page 32
Теорема Осгуда — Гобсона……Page 33
Последовательность непрерывных функций, неравномерно сходящаяся на каждом отрезке……Page 34
Постановка задачи и примеры……Page 36
Основная теорема о почленном дифференцировании рядов……Page 38
Функции, не имеющие производной ни в одной точке……Page 41
Постановка задачи……Page 43
Интегрирование равномерно сходящихся рядов……Page 45
Определение степенного ряда. Первая теорема Абеля……Page 46
Интервал сходимости……Page 48
Верхний предел последовательности……Page 49
Вычисление радиуса сходимости степенного ряда (формула Коши — Адамара)……Page 50
Равномерная сходимость степенного ряда……Page 53
§3. Операции над степенными рядами……Page 55
Дифференцирование степенного ряда……Page 57
Понятие о рядах Тейлора и Маклорена……Page 58
Аналитические функции……Page 60
Единственность разложения функции в степенной ряд……Page 62
Приложения теоремы единственности……Page 63
Свойства функций, представимых степенными рядами……Page 64
Интерполяционный полином Лагранжа……Page 66
Остаточный член интерполяции……Page 68
Доказательство теоремы Вейерштрасса методом Лебега……Page 71
Вспомогательные тождества и неравенства……Page 76
Приближение периодической функции тригонометрическими полиномами……Page 79
Наилучшее приближение функции……Page 81
Полиномы Чебышева……Page 82
Теорема существования и единственности полинома, наименее уклоняющегося от нуля……Page 83
Вычисление коэффициентов тригонометрического полинома……Page 84
Понятие о ряде Фурье……Page 86
Условие периодичности……Page 87
Ряды Фурье чётных и нечётных функций……Page 89
Ряды Фурье функций с периодом $omega$……Page 90
Умножение на константу……Page 94
Ряд Фурье для $f(x+h)$……Page 95
Ряд Фурье для производной……Page 96
§3. Однозначность определения функции при помощи коэффициентов Фурье……Page 98
Неравенство Бесселя……Page 99
Порядок коэффициентов Фурье для функций, имеющих $k$ производных……Page 100
§1. Ряды Фурье непрерывных периодических функций……Page 101
Определение функции с ограниченным изменением……Page 103
Арифметические операции над функциями с ограниченным изменением……Page 104
Характеристическое свойство функций с ограниченным изменением……Page 105
Точки разрыва функции с ограниченным изменением……Page 107
Непрерывные функции с ограниченным изменением……Page 108
Основные леммы……Page 111
Формула Дирихле для частной суммы ряда Фурье……Page 114
Другое выражение для частной суммы ряда Фурье……Page 115
Принцип локализации……Page 117
Основная теорема……Page 118
Разложение $sin{pi x}$ в бесконечное произведение и формула Уэллиса……Page 121
§5. Сходимость ряда Фурье для функции с ограниченным изменением……Page 122
§6. Пример непрерывной функции с расходящимся рядом Фурье……Page 126
Ортогонализация……Page 129
Полиномы Лежандра……Page 131
Краевые задачи для дифференциальных уравнений……Page 132
Неравенство Шварца……Page 133
Минимум среднего квадратичного уклонения……Page 134
Сходимость в среднем ряда Фурье……Page 137
§9. Полнота и замкнутость ортогональной системы……Page 139
Определение функции $n$ переменных величин……Page 140
Понятие о пространстве $n$ измерений……Page 141
Некоторые тела в $n$-мерном пространстве……Page 142
Внутренние, граничные и внешние точки……Page 143
Прямая в $n$-мерном пространстве……Page 144
Плоскости в $n$-мерном пространстве……Page 145
Геометрическое изображение функции с помощью поверхности……Page 146
Геометрическое изображение функции с помощью линий уровня……Page 147
Предел последовательности точек в $n$-мерном пространстве……Page 148
Критерий Коши……Page 149
Принцип Больцано — Вейерштрасса……Page 150
Определение предела функции……Page 152
Повторный переход к пределу……Page 154
Определение непрерывной функции……Page 156
Теоремы о непрерывных функциях……Page 157
Определение и обозначение частных производных……Page 158
Геометрический смысл частных производных……Page 159
Производная по направлению……Page 160
Понятия дифференцируемой функции и полного дифференциала……Page 162
Необходимые условия дифференцируемости функций……Page 163
Выражение полного дифференциала через частные производные……Page 164
Касательные многообразия……Page 165
Формула для конечного приращения функции нескольких переменных……Page 167
Достаточные условия дифференцируемости функции……Page 168
Выражение производной по направлению через частные производные……Page 169
Необходимые и достаточные условия равенства нулю полного дифференциала……Page 170
Другой способ вычисления производной по направлению……Page 171
Полная производная……Page 172
Полная частная производная……Page 173
Формула Лагранжа……Page 174
Определение однородной функции……Page 175
Теорема Эйлера об однородных функциях……Page 176
Правило нахождения полного дифференциала сложной функции……Page 177
Формулы полного дифференцирования……Page 178
Определение частных производных высших порядков……Page 179
Условия независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования……Page 181
Последовательное дифференцирование……Page 183
Символическая запись дифференциалов высших порядков……Page 184
Формулы Тейлора и Маклорена……Page 185
Ряд Тейлора и Маклорена……Page 187
Непрерывные ветви неявной функции. Критические точки……Page 188
Теорема существования функции $y=y(x)$, удовлетворяющей уравнению $F(x,y)=0$……Page 189
Дифференцируемость неявной функции……Page 192
Условие Липшица……Page 193
Теорема Гурса……Page 194
Функция, определяемая уравнением $F(x,y,z,…,t,u)=0$……Page 198
Функции, определяемые системой уравнений……Page 199
Производная от функции, заданной уравнением $f(x,y)=0$……Page 202
Частные производные от неявной функции……Page 203
Производные высших порядков от неявной функции……Page 204
Производные неявных функций, определяемых системой уравнений……Page 206
Замена независимого переменного новым независимым переменным……Page 209
Одновременная замена зависимого и независимого переменных……Page 210
§2. Замена переменных для функции нескольких переменных……Page 211
Аффинное отображение……Page 213
Отображение плоской области……Page 214
§2. Теория независимости функций……Page 219
Вспомогательная теорема……Page 220
Определение зависимости функций……Page 222
Необходимое и достаточное условие зависимости между функциями……Page 223
Якобиан произведения преобразований……Page 227
Якобиан обратного преобразования……Page 228
Определение регулярного преобразования……Page 229
Свойства регулярных преобразований……Page 230
Геометрический смысл абсолютной величины детерминанта Якоби для регулярного преобразования……Page 232
Геометрический смысл знака детерминанта Якоби……Page 235
Основные определения……Page 237
Ограничения, налагаемые на изучаемую поверхность……Page 240
Поведение линии уровня вблизи обыкновенной точки……Page 242
Поведение линии уровня вблизи стационарной точки……Page 244
Аналитические условия максимумов и минимумов……Page 247
Обыкновенная и стационарная точки……Page 249
Максимумы и минимумы……Page 251
Достаточные условия экстремума, основанные на применении формулы Тейлора……Page 252
§3. Задачи на нахождение минимума и максимума функций нескольких переменных……Page 255
Правило множителей Лагранжа……Page 257
Достаточные условия для условного экстремума……Page 259
Предварительные леммы……Page 264
Теоремы Медера……Page 265
Нахождение предельных значений с помощью формулы Тейлора……Page 266
Определение интеграла от функции, зависящей от параметров……Page 268
Дифференцирование интеграла по параметру……Page 269
Интегрирование по параметру……Page 271
Равномерно сходящиеся интегралы……Page 274
Непрерывность функции, определяемой несобственным интегралом……Page 275
Дифференцирование под знаком несобственного интеграла……Page 276
Теорема о перестановке порядка интегрирования……Page 277
Равномерная сходимость интеграла в случае разрывной подинтегральной функции……Page 281
Функции $Gamma(alpha)$ и $B(alpha,beta)$……Page 282
Свойства функций $Gamma(alpha)$ и $B(alpha,beta)$……Page 284
Связь между функциями $B$ и $Gamma$……Page 285
Выражение функции $Gamma(alpha)$ в виде бесконечного произведения и формула дополнения……Page 286
1. Интеграл Пуассона $intlimits_0^{+infty} e^{-x^2} dx$……Page 288
2. Интеграл вида $intlimits_0^{pi/2} sin^p x cos^q х dx$……Page 289
Формула Фурье……Page 291
Формула Фурье в виде двукратного интеграла……Page 296
Формула Фурье для чётных и нечётных функций……Page 297
§1. Нахождение функций по их частным производным……Page 298
§2. Определение функции по ее полному дифференциалу……Page 299
Объём цилиндра……Page 303
Правильное разбиение области……Page 304
Новый способ вычисления площади квадрируемой фигуры……Page 305
Достаточные условия для квадрируемости области……Page 306
Определение двойного интеграла……Page 307
Теорема существования двойного интеграла……Page 308
Обобщение понятия интегральной суммы и теоремы существования двойного интеграла……Page 310
Метод вычисления двойного интеграла с помощью прямоугольного разбиения……Page 311
Простейшие свойства двойных интегралов……Page 312
Теорема о среднем значении……Page 313
Формулы для вычисления двойного интеграла……Page 315
Геометрическая интерпретация вычисления двойного интеграла……Page 318
Пример на вычисление двойного интеграла……Page 319
§6. Замена переменных в двукратном интеграле……Page 321
Переход в двойном интеграле от декартовых координат к полярным……Page 323
Аксиомы площади поверхности……Page 325
Метод вычисления площади поверхности……Page 326
Метод полиэдральных приближений……Page 330
Случай поверхности вида $z=f(x,y)$……Page 332
Примеры на вычисление площади поверхности……Page 333
Определение меры и понятие кубируемости……Page 335
§2. Достаточные условия для кубируемости множеств……Page 337
Семейство измеримых множеств……Page 339
Основные свойства меры Жордана……Page 340
Геометрическое определение кратного интеграла……Page 343
Существование $n$-кратного интеграла, определённого геометрически……Page 344
Существование $n$-кратного интеграла, определённого аналитически……Page 345
Свойства кратных интегралов……Page 346
Эквивалентность двух определений кратного интеграла……Page 347
Обобщённые интегральные суммы……Page 348
Вычисление трёхкратного интеграла……Page 350
Вычисление $n$-кратных интегралов……Page 351
Замена переменных в кратных интегралах……Page 352
§3. Механическое толкование тройного интеграла……Page 356
Определение двойного ряда……Page 357
Абсолютно сходящиеся ряды……Page 359
Таблица с двойным входом и различные представления двойного ряда……Page 360
Определение несобственных кратных интегралов……Page 363
Свойство несобственного интеграла от неотрицательной функции……Page 365
Признаки сходимости интегралов от функций, не меняющих знака……Page 368
Несобственные интегралы от функций, меняющих знак. Абсолютная сходимость интегралов……Page 371
Определение и существование криволинейного интеграла……Page 375
Обобщение теоремы существования……Page 378
Критерий независимости интеграла от контура интеграции……Page 379
Вывод формулы Грина……Page 382
Другая форма условия независимости криволинейного интеграла от пути интеграции……Page 384
§4. Формула замены переменных в двойном интеграле……Page 386
Вывод формулы замены переменных……Page 387
Определение интеграла по поверхности……Page 388
Независимость абсолютной величины интеграла по поверхности от способа её задания уравнениями……Page 389
Выражение интеграла по поверхности для случая $z=f_1(x,y)$, или $x=f_2(y,z)$, или $y=f_3(z,x)$……Page 391
Геометрический смысл интеграла по поверхности……Page 392
§6. Интегралы по замкнутой поверхности. Формула Гаусса……Page 396
§7. Формула Стокса……Page 397
Предметный указатель……Page 401
Reviews
There are no reviews yet.