Неевклидовы пространства

Розенфельд Б.А.

Table of contents :
Титульный лист ……Page 1
Аннотация ……Page 2
Оглавление ……Page 3
Предисловие ……Page 8
1.1.1. Евклидово $n$-пространство ……Page 13
1.1.2. Расстояния: ……Page 15
1.1.3. Непрерывность ……Page 16
1.1.5. Топологические группы и группы Ли ……Page 23
1.1.6. Однородные пространства ……Page 29
1.1.7. Аксиомы Евклида ……Page 31
1.1.8. Аксиомы Гильберта ……Page 33
1.1.9. Структуры геометрии ……Page 36
1.2.1. V постулат Евклида ……Page 37
1.2.2. Параллельные линии в школе Архимеда ……Page 38
1.2.3. Сумма углов треугольника и четырехугольника ……Page 40
1.2.4. Неявные предположения, эквивалентные V постулату ……Page 43
1.2.5. Постулат подобия ……Page 45
1.2.6. Открытие неевклидовой геометрии ……Page 46
2.1.1. Эллиптическое $n$-пространство ……Page 49
2.1.3. Тригонометрия и площадь треугольника ……Page 51
2.1.4. Координаты ……Page 52
2.1.5. Объемы ……Page 53
2.2.1. Проективное $n$-пространство ……Page 54
2.2.2. Проективная интерпретация эллиптического пространства ……Page 56
2.2.3. Плоскости ……Page 57
2.2.4. Угол между плоскостями ……Page 58
2.2.5. Выражение расстояний и углов с помощью абсолюта ……Page 59
2.2.6. Принцип двойственности ……Page 60
2.3.1. Операторные координаты $m$-плоскостей ……Page 61
2.3.2. Полярные $m$-плоскость и $(n-m-1)$-плоскость ……Page 63
2.3.3. Перпендикуляр, опущенный из точки на $m$-плоскость ……Page 64
2.3.4. Отражение от $m$-плоскости ……Page 66
2.3.5. Общие перпендикуляры двух $m$-плоскостей ……Page 67
2.3.6. Паратактические $m$-плоскости и прямые ……Page 69
2.4.1. Сферы ……Page 70
2.4.2. Шары ……Page 72
2.4.3. Симплексы ……Page 73
2.4.4. Правильные соты ……Page 75
2.5.1. Группа движений ……Page 78
2.5.2. Классификация движений ……Page 81
2.5.3. Паратактические сдвиги ……Page 84
2.5.4. Движения 2-плоскости и 3-пространства ……Page 85
2.5.5. Односторонность и двусторонность пространства ……Page 88
2.6.1. Квадрики ……Page 89
2.6.2. Эквидистанты $m$-плоскостей ……Page 91
2.6.3. Поверхности Клиффорда ……Page 93
2.6.4. Обобщение поверхности Клиффорда ……Page 96
2.7.1. Конформное $n$-пространство ……Page 100
2.7.3. Конформная интерпретация эллиптического пространства ……Page 101
2.7.4. Выражение расстояний в конформной интерпретации ……Page 105
2.8.1. 3-пространство как группа движений 2-плоскости ……Page 108
2.8.2. Плюккеровы координаты ……Page 110
2.8.3. Интерпретация Фубини ……Page 112
3.1.1. Псевдоевклидовы $n$-пространства ……Page 116
3.1.2. Расстояния и движения ……Page 117
3.1.3. Прямые, плоскости и сферы ……Page 118
3.2.1. $n$-пространство Лобачевского ……Page 119
3.2.2. Проективная интерпретация пространства Лобачевского ……Page 121
3.2.3. Аксиомы пространства Лобачевского ……Page 122
3.2.4. Параллельные и расходящиеся прямые ……Page 123
3.2.5. Расстояния ……Page 126
3.2.6. Тригонометрия и угол параллельности ……Page 128
3.2.7. Площадь треугольника ……Page 130
3.2.8. Координаты ……Page 134
3.3.1. Абсолют и идеальные точки ……Page 136
3.3.2. Объем расширенного пространства ……Page 139
3.3.3. Плоскости ……Page 140
3.3.4. Выражение расстояний и углов с помощью абсолюта ……Page 144
3.4.1. Операторные координаты $m$-плоскостей ……Page 146
3.4.2. Перпендикуляр, опущенный из точки на $m$-плоскость ……Page 147
3.4.3. Общие перпендикуляры двух $m$-плоскостей ……Page 148
3.5.1. Сферы и эквидистанты ……Page 150
3.5.2. Шары ……Page 154
3.5.3. Длина дуги эквидистанты прямой ……Page 155
3.5.4. Орисферы ……Page 156
3.5.5. Симплексы ……Page 158
3.5.6. Правильные соты ……Page 164
3.6.1. Группа движений ……Page 166
3.6.2. Классификация движений ……Page 168
3.6.3. Движения 2-плоскости и 3-пространства ……Page 173
3.7.1. Квадрики ……Page 176
3.7.2. Сферы, эквидистанты и орисферы ……Page 177
3.7.3. Классификация квадрик ……Page 179
3.7.5. Эквидистантная бочка ……Page 183
3.8.1. Конформная интерпретация Клейна ……Page 184
3.8.2. Интерпретация Гессе ……Page 186
3.8.3. Обобщения интерпретации Гессе ……Page 187
3.8.4. Конформные преобразования пространства Лобачевского ……Page 188
3.8.5. Конформная интерпретация Пуанкаре ……Page 190
3.8.6. Выражение расстояний в интерпретации Пуанкаре ……Page 195
3.8.7. Конформная интерпретация пространства Лобачевского на его плоскости ……Page 198
3.8.8. Интерпретации, промежуточные между проективными и конформными ……Page 199
3.9.1. Комплексные пространства ……Page 204
3.9.2. Плюккеровы координаты ……Page 205
3.9.3. Интерпретация Котельникова ……Page 206
4.1.1. Гиперболические $n$-пространства ……Page 210
4.1.2. Координаты ……Page 213
4.1.3. Плоскости ……Page 214
4.1.4. Классификация эллиптических и гиперболических метрик ……Page 215
4.2.1. Эллиптические $m$-плоскости ……Page 217
4.2.2. Гиперболические $m$-плоскости ……Page 219
4.2.3. Паратактичные $m$-плоскости ……Page 221
4.3.1. Группы движений ……Page 222
4.3.2. Классификация движений ……Page 225
4.3.3. Движения 3-пространства ……Page 230
4.4.1. Квадрики ……Page 235
4.4.2. Сферы и орисферы ……Page 236
4.4.3. Эквидистанты $m$-плоскостей и $m$-орисферы ……Page 238
4.5.1. Псевдоконформные $n$-пространства ……Page 239
4.5.3. Конформная интерпретация Пуанкаре ……Page 240
4.6.1. Симплектическое $(2n+1)$-пространство ……Page 242
4.6.2. Симплектические преобразования ……Page 243
4.6.3. Нулевые $m$-плоскости ……Page 244
4.6.4. Симплектический инвариант двух прямых ……Page 245
4.7.1. Интерпретация Плюккера ……Page 247
4.7.2. 3-пространство как группа движений 2-плоскости ……Page 251
4.7.3. Интерпретация Фубини ……Page 254
4.7.4. Интерпретация симплектического 3-пространства ……Page 258
5.1.1. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства как предельные случаи эллиптических и гиперболических ……Page 262
5.1.3. Проективные интерпретации ……Page 266
5.1.4. Получение абсолютов с помощью предельных переходов ……Page 268
5.2.1. Применение принципа двойственности к евклидову и псевдоевклидовым пространствам ……Page 270
5.2.2. Расстояния между точками ……Page 271
5.2.3. Углы между плоскостями ……Page 275
5.2.4. Тригонометрия ……Page 276
5.2.5. Площадь треугольника ……Page 278
5.2.6. Движения ……Page 281
5.3.1. Абсолюты ……Page 283
5.3.2. Расстояния между точками ……Page 286
5.3.3. Углы между плоскостями ……Page 288
5.3.4. Полярная плоскость и полюс ……Page 289
5.3.5. Движения ……Page 290
5.3.6. Кодвижения ……Page 293
5.4.1. Галилеево и псевдогалилеевы пространства ……Page 295
5.4.2. Флаговое пространство ……Page 297
5.4.3. Движения ……Page 298
5.4.4. Углы между плоскостями и кодвижения флагового пространства ……Page 301
5.4.5. Флаговая 2-плоскость ……Page 303
5.4.6. Тригонометрия флаговой 2-плоскости ……Page 305
5.4.7. Площадь треугольника на флаговой 2-плоскости ……Page 307
5.5.1. Абсолюты ……Page 308
5.5.2. Расстояния между точками ……Page 312
5.5.3. Углы между плоскостями ……Page 313
5.5.4. Классификация проективных метрик ……Page 315
5.5.5. Полярная плоскость и полюс ……Page 318
5.5.6. Движения ……Page 319
5.5.7. Кодвижения ……Page 322
5.6.1. Центры квадрик ……Page 324
5.6.2. Метрические инварианты квадрик ……Page 327
5.6.3. Классификация квадрик ……Page 332
5.7.1. Параболические и непараболические $m$-плоскости ……Page 335
5.7.2. Операторные координаты ……Page 336
5.7.3. Полярные $m$-плоскость и $(n-m—1)$-плоскость ……Page 337
5.7.4. Перпендикуляр, опущенный из точки на $m$-плоскость ……Page 339
5.7.5. Общие перпендикуляры двух $m$-плоскостей ……Page 341
5.7.6. Параболические общие перпендикуляры двух $m$-плоскостей ……Page 343
5.7.7. Геометрия $m_0$-плоскостей квазиэллиптических и квазигиперболических пространств ……Page 346
5.7.9. Геометрия $m$-плоскостей флагового пространства ……Page 348
5.8.1. Сферы ……Page 353
5.8.2. Циклы ……Page 355
5.8.3. Циклы на флаговой плоскости ……Page 358
5.8.4. Степень точки относительно цикла ……Page 359
5.8.5. Конформные преобразования ……Page 360
5.8.6. Инверсия относительно цикла ……Page 365
5.9.1. Квазисимплектические пространства ……Page 366
5.9.2. Полусимплектические пространства ……Page 369
5.10.1. Квазиэллиптическое 3-пространство как группа движений евклидовой 2-плоскости ……Page 371
5.10.2. Паратактические сдвиги 3-пространства ……Page 373
5.10.3. Интерпретация многообразия прямых квазиэллиптического 3-пространства ……Page 375
5.10.4. Отражение от пары поляризованных параболических прямых ……Page 377
5.10.5. Метрические квадрики и нуль-системы ……Page 378
5.10.6. Квазигиперболическое 3-пространство как группа движений псевдоевклидовой 2-плоскости ……Page 380
5.10.7. Интерпретация многообразия прямых квазигиперболического 3-пространства на паре 2-плоскостей ……Page 382
5.10.8. Интерпретация многообразия прямых квазигиперболического 3-пространства на комплексной 2-плоскости ……Page 384
5.10.9. Изотропное 3-пространство как группа движений флаговой 2-плоскости ……Page 386
5.10.10. Интерпретация квазисимплектического 3-пространства ……Page 388
6.1.1. Дифференцируемые пространства ……Page 390
6.1.2. Пространства аффинной связности ……Page 392
6.1.3. Римановы и псевдоримановы пространства ……Page 394
6.1.4. Кривизна римановых и псевдоримановых пространств ……Page 397
6.1.5. Полуримановы и квазиримановы пространства ……Page 400
6.1.6. Кривизна полуримановых пространств ……Page 402
6.2.2. Соприкасающиеся $m$-плоскости ……Page 404
6.2.3. Сопровождающий базис и натуральный параметр ……Page 406
6.2.4. Формулы Френе в эллиптическом пространстве ……Page 408
6.2.5. Формулы Френе в гиперболических пространствах ……Page 409
6.2.6. Формулы Френе в полуэллиптических и полугиперболических пространствах ……Page 411
6.3.1. Поверхности и касательные плоскости ……Page 414
6.3.2. Первые квадратичные формы поверхности ……Page 416
6.3.3. Нормальная кривизна линии на поверхности ……Page 417
6.3.4. Внешние кривизны поверхности ……Page 419
6.3.5. Риманова и псевдориманова геометрии на поверхностях эллиптического и гиперболических пространств ……Page 421
6.3.6. Полуриманова геометрия на поверхностях полуэллиптическич и полугиперболических пространств ……Page 422
6.3.7. Главные кривизны ……Page 426
6.3.8. Геометрия на $m$-орисферах ……Page 428
7.1.1. Группы Ли как дифференцируемые пространства ……Page 431
7.1.2. Алгебры Ли ……Page 433
7.1.3. Разрешимые и полупростые группы Ли ……Page 436
7.1.4. Компактные простые группы Ли ……Page 438
7.1.5. Некомпактные простые группы Ли ……Page 445
7.1.6. Квазипростые группы Ли ……Page 448
7.2.1. Инвариантная аффинная связность в группах Ли ……Page 450
7.2.2. Симметрические пространства аффинной связности ……Page 456
7.2.3. Группы Ли как симметрические пространства аффинной связности ……Page 458
7.2.4. Свойства симметрических пространств ……Page 460
7.2.5. Инвариантная риманова и псевдориманова метрика в группах Ли ……Page 463
7.2.6. Римановы и псевдоримановы симметрические пространства ……Page 465
7.2.7. Ранг риманова и псевдориманова симметрических пространств и инварианты их точек ……Page 466
7.2.8. Римановы и псевдоримановы симметрические пространства нулевой кривизны ……Page 467
7.2.9. Инвариантная квазириманова метрика в группах Ли и квазиримановы симметрические пространства ……Page 469
7.3.1. Образы симметрии ……Page 470
7.3.2. Образы симметрии евклидовых и псевдоевклидовых пространств ……Page 471
7.3.3. Образы симметрии эллиптических и гиперболических пространств ……Page 472
7.3.4. Образы симметрии и косимметрчи проективного пространства ……Page 475
7.3.5. Образы симметрии симплектического пространства ……Page 478
7.3.6. Образы симметрии и косимметрии квазиэллиптического и квазигиперболическпх пространств ……Page 479
7.4.1. Пространства образов симметрии ……Page 482
7.4.2. Пространства $m$-плоскостей ……Page 485
7.4.3. Семейства образов симметрии ……Page 487
7.4.4. Конгруэнции $m$-плоскостей ……Page 490
Примечания ……Page 493
Библиография ……Page 513
Именной указатель ……Page 528
Предметный указатель ……Page 533
Выходные данные ……Page 548