Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. II

Рудых Г.А., Семенов Э.И.

Для многомерного уравнения нелинейной диффузии $u_t=nablacdot (u^{lambda}nabla u)$, $uoverset{triangle}to{=}u({bold x},t): Omegatimesoverline{Bbb R}^+toBbb R^+$, ${bold x}inBbb R^n,$ предложена оригинальная форма решений$$ u({bold x},t)=[lambda [frac{1}{2}({bold x},A_1(t){bold x})+ ({bold x},{bold B}_1(t))+C_1(t)]^p_+ + lambda [frac{1}{2}({bold x},A_2(t){bold x})+ ({bold x},{bold B}_2(t))+C_2(t)] ]_+^{1/lambda}, $$с помощью которой исследование исходного уравнения сведено к изучению конечномерной переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций, подлежащих определению) системе алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Здесь $A_k(t)$ – вещественные симметричные матрицы с элементами $a_{kij}(t)in C^1(overline{Bbb R}^+), {bold B}_k(t)$ – вектор-столбцы с компонентами $b_{ki}(t)in C^1(overline{Bbb R}^+)$ и $C_k(t)in C^1(overline{Bbb R}^+)$ – скалярные функции; $OmegasubsetBbb R^n$ – ограниченная область; $Bbb R^+=(0,infty);lambda ,pinBbb R;lambda ,pne 0;k=1,2$. parВ силу специфики задачи исследование предъявленной системы АДУ распадается на два независимых случая: $pne 2$, $p=2$. При определенных предположениях доказано, что задача Коши для изучаемой системы АДУ обладает решением, отличным от тривиального как при $pne 2$, так и при $p=2$. На основе этого результата найдено многопараметрическое семейство новых точных неавтомодельных анизотропных по пространственным переменным, явных неотрицательных решений исследуемого уравнения. Основное внимание уделено изучению уравнений быстрой $(-1