Polynomes, etude algebrique

Rande P.

Les polynômes permettent de résumer les calculs de base sur les nombres : somme, produit, élévation à une puissance entière. C’est la raison pour laquelle ils se sont si tôt introduits comme outils naturels des mathématiques. Formellement, ils sont utilisés comme des schémas universels pour ces calculs, puisque, par substitution, ils permettent de réaliser tout calcul concret à partir de manipulation abstraite. Dans cet article, nous n’abordons que les propriétés élémentaires de type algébrique ou arithmétique. Nous nous limiterons aux situations les plus simples, en particulier en ce qui concerne les polynômes irréductibles et la recherche des racines. Les extensions naturelles de l’étude des polynômes sont la géométrie.

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Table of contents :
Polynômes Étude algébrique……Page 1
Identifications canoniques……Page 2
1.1.3 Fonctions polynomiales……Page 3
Notations……Page 4
1.2.2 Propriétés élémentaires dans le cas d’un anneau intègre……Page 5
1.3.1 Algorithme de division euclidienne dans……Page 6
1.3.2 Racines et points d’annulation des polynômes……Page 7
Relation de Bezout……Page 8
Factorialité de……Page 9
1.3.3.3 Étude de……Page 10
Unicité d’une décomposition en facteurs irréductibles dans……Page 11
1.4 Polynômes symétriques, antisymétriques de……Page 12
2.1.1 Corps algébriquement clos……Page 13
2.1.2 Multiplicité des racines……Page 14
2.2.1 Polynômes irréductibles de……Page 15
2.3.1 Racines rationnelles d’un élément de……Page 16
2.3.2 Critères d’irréductibilité dans……Page 17