Дифференциальные уравнения 5

Федорюк М., Вайнберг Б., Бабич В., Лазуткин В., Ильин А., и др.

1)М. В. Федорюк. Уравнения с быстро осциллирующими решениями. С. 5-56. Изложен метод канонического оператора Маслова, позволяющий построить асимптотику решений в большом для линейных уравнений с частными производными. Эти уравнения содержат малые параметры при старших производных, решения носят осциллирующий характер. Приведены приложения к задачам квантовой механики и другим. Рассмотрены некоторые классы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными с быстроосциллирующими решениями.
2)Б.Р. Вайнберг. Асимптотическое поведение при t->оо решений внешних смешанных задач для гиперболических уравнений и квазиклассика. С. 57-92. Исследованы асимптотические свойства решений внешних краевых задач: коротковолновая и длинноволновая асимптотика решений и аналитические свойства резольвенты эллиптических задач, асимптотика спектральной функции для уравнений во всем пространстве, квазиклассическая асимптотика решения задачи рассеяния и амплитуды рассеяния, асимптотическое поведение при неограниченном возрастании времени решений внешних смешанных задач для гиперболических уравнений. Устанавливается связь между уходом волновых фронтов и убыванием локальной энергии.
3)В.М. Бабич. Многомерный метод ВКБ или лучевой метод. Его аналоги и обобщения. С. 93-134. В статье изложены основные асимптотические методы теории дифракции волн. Рассмотрены лучевой метод, структура поля вблизи каустики, гауссовы пучки, метод суммирования гауссовых пучков, волны типа шепчущей галереи.
4)В.Ф. Лазуткин. Квазиклассическая асимптотика собственных функций. С. 135-174. Статья содержит изложение квазиклассического метода для получения асимптотики дискретного спектра многомерного дифференциального оператора . Основой для построений служит колмогоровское инвариантное множество в фазовом пространстве соответствующей классической динамической системы. Количество аппроксимируемых асимптотикой собственных чисел оценивается мерой Лиувилля колмогоровского множества, деленной на объем . Излагается история вопроса и приводится обзор литературы.
5)А.М. Ильин. Пограничный слой. С. 175-214. Излагаются методы решения некоторых классов краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, содержащих малый параметр. Основное внимание уделяется методу согласования асимптотических разложений, который носит также названия – метод сращивания, метод склейки, сшивки и т. п. Методы иллюстрируются на конкретных примерах краевых задач.
6)Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, А.Л. Штарас. Метод осреднения для уравнений с частными производными и его применения. С. 215-240. Рассматриваются асимптотические и численно-асимптотические методы решения уравнений в частных производных, описывающих поля и процессы; в неоднородных средах, исследуются слабо нелинейные задачи.