Calcul formel pour les methodes de Lie en mecanique hamiltonienne

Koseleff P.-V.

Le but premier est la comparaison de deux méthodes de Lie utilisées en théorie des perturbations en mécanique hamiltonienne: la méthode de Deprit et la méthode de Dragt-Finn. Elles reposent sur l’utilisation de transformations canoniques (symplectiques) formelles. On étudie les liens entre ces deux approches pour conclure qu’elles conduisent, dans les cas non-résonnants, à la construction des mêmes objets (forme normale et intégrales premières formelles). On propose, par la suite, des méthodes de construction de tels objets et on observe que la méthode de Dragt-Finn est moins coûteuse. La connaissance des premiers termes de ces séries de Lie peut fournir des informations sur la stabilité de systèmes hamiltoniens, au voisinage de points d’équilibre elliptiques. On propose, à l’instar de ce qui a été fait avec la transformation de Lie, des estimations pour celle de Dragt-Finn. Pour étudier les relations entre les différentes transformations canoniques, on se place dans une algèbre de Lie libre pour étudier des identités exponentielles. On donne des méthodes générales pour l’obtention de telles formules (dont la formule de Baker-Campbell-Hausdorff), en utilisant des propriétés de la base de Lyndon. Ces identités explicites et leur méthode de calcul permettent alors d’obtenir des intégrateurs symplectiques. On retrouve les intégrateurs connus et on en donne une liste exhaustive pour les petits ordres, montrant que les différentes méthodes de recherches sont complètement équivalentes. On décrit l’implantation de ces algorithmes dans le système de Calcul Formel Axiom et des exemples de calcul sont donnés en appendice.