Вещественный и комплексный анализ. Введение и дифференциальное исчисление

Зверович Э.И.

Table of contents :
Вещественный и комплексный анализ. Часть1…….Page 1
ПРЕДИСЛОВИЕ……Page 4
Множества: отношения и операции……Page 6
Высказывания и операции над ними……Page 9
Формулы алгебры высказываний и их применения……Page 11
Предикаты и кванторные операции над ними……Page 15
Отображение, его график, сужение и продолжение……Page 17
Образы и прообразы множеств при отображениях……Page 19
Композиция отображений. Обратное отображение……Page 20
Числовые функции и способы их задания……Page 21
Монотонные функции. Обратные функции……Page 23
Четные, нечетные и периодические функции……Page 24
Задачи к главе 1……Page 27
Отношение эквивалентности, классы эквивалентности……Page 30
Мощность множества. Целые положительные числа……Page 31
Отношение порядкаwords]Отношение!— порядка на множестве N……Page 34
Построение кольца всех целых чисел……Page 37
Построение множества всех рациональных чисел……Page 40
Арифметические операции над рациональными числами……Page 41
Отношение порядка на множестве Q……Page 43
Представление рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей……Page 45
Изображение рациональных чисел точками числовой оси……Page 47
Сечения Дедекинда……Page 49
Множество R всех вещественных чисел и его полнота……Page 57
Числовые множества и их границы……Page 62
Комплексные числа……Page 66
Метрические пространства……Page 72
Топологические пространства……Page 74
Задачи к главе 2……Page 79
Определения и примеры……Page 82
Общие свойства пределов. Предел и арифметические операции……Page 85
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности……Page 88
Предел и неравенства……Page 91
Нижний и верхний пределы последовательности……Page 96
Критерий Коши. Полнота……Page 98
Компактность числовых множеств……Page 100
Задачи к главе 3……Page 106
Определения и примеры……Page 112
Некоторые операции над рядами……Page 115
Критерий Коши и его следствия……Page 117
Критерий сходимости и признаки сравнения……Page 118
Обобщенный гармонический ряд……Page 121
Признаки Коши и Даламбера……Page 123
Другие признаки……Page 127
Абсолютная и условная сходимость числовых рядов……Page 131
Признак Лейбница……Page 134
Преобразование Абеля. Неравенства Абеля……Page 136
Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов……Page 137
Понятие о перестановке членов ряда……Page 139
Перестановки членов абсолютно сходящихся рядов……Page 140
Перестановки членов условно сходящихся рядов……Page 142
Умножение рядов……Page 145
Задачи к главе 4……Page 148
Определения и примеры……Page 152
Общие свойства пределов функций……Page 155
Предел и неравенства……Page 156
Предел и арифметические операции……Page 158
Пределы монотонных функций……Page 162
Предел композиции функций……Page 163
Критерий Коши существования предела функции……Page 165
Сравнение асимптотического поведения функций и вычисление некоторых пределов……Page 167
Понятие непрерывной и разрывной функций в точке……Page 170
Точки разрыва и их классификация……Page 173
Функция Дирихле и функция Римана……Page 176
Локальные свойства непрерывных функций……Page 177
Теоремы Больцано — Коши и Вейерштрасса……Page 179
Равномерная непрерывность. Теорема Кантора……Page 182
Критерий непрерывности функции на множестве. Теорема о непрерывности обратной функции……Page 184
Понятие элементарной функции……Page 186
Непрерывность элементарных функций……Page 195
Связные множества……Page 196
Непрерывные отображения топологических пространств……Page 198
Задачи к главе 5……Page 201
Основные понятия и простейшие факты……Page 203
Дифференцируемость вектор-функций……Page 208
C-дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного……Page 209
Касательная к графику функции……Page 210
Физический смысл производной……Page 213
Односторонние и бесконечные производные……Page 214
Основные правила вычисления производных……Page 215
Вычисление табличных производных……Page 221
Некоторые другие правила вычисления производных……Page 225
Производные высших порядков……Page 227
Дифференциалы высших порядков……Page 233
Задачи к главе 6……Page 234
Теоремы ……Page 237
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей……Page 243
Формула Тейлора для многочлена……Page 246
Формула Тeйлора для произвольной функции……Page 247
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена……Page 251
Степенные ряды……Page 253
Ряды Тейлора……Page 254
Формулы Эйлера……Page 258
Задачи к главе 7……Page 260
Условия монотонности функции……Page 262
Необходимое условие локального экстремума……Page 263
Достаточные условия локального экстремума……Page 264
Свойство выпуклости……Page 268
Неравенство Иенсена и его применения……Page 272
Точки перегиба……Page 275
Асимптоты……Page 278
Задачи к главе 8……Page 280
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ……Page 283
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ……Page 284
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ……Page 285
ЛИТЕРАТУРА……Page 292
ОГЛАВЛЕНИЕ……Page 293