Математический анализ

Кудрявцев Л.Д.

Table of contents :
1.1. Свойства вещественных чисел……Page 16
1.2. Обозначения……Page 25
2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств……Page 27
2.2. Сечения в множестве вещественных чисел……Page 32
3.1. Определение предела последовательности и некоторые его свойства……Page 33
3.2. Пределы монотонных последовательностей……Page 36
3.3. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши……Page 40
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности……Page 44
3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями……Page 46
3.6. Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями……Page 52
3.7. Счетность рациональных чисел. Несчетность вещественных чисел……Page 57
3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей……Page 60
4.1 Понятие функции……Page 65
4.2. Способы задания функций……Page 69
4.3. Элементарные функции и их классификация……Page 73
4.4. Первое определение предела функции……Page 74
4.5. Второе определение предела функции……Page 77
4.6. Свойства пределов функций……Page 81
4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции……Page 83
4.8. Пределы монотонных функций……Page 85
4.9. Критерий Коши существования предела функции……Page 86
5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции……Page 89
5.2. Свойства функций, непрерывных в точке……Page 93
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений……Page 94
6.2. Промежуточные значения непрерывной функции……Page 96
6.3. Обратные функции……Page 98
7.1. Многочлены и рациональные функции……Page 101
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции……Page 102
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции……Page 110
8.1. Некоторые замечательные пределы……Page 111
8.2. Сравнение функций……Page 116
8.3. Эквивалентные функции……Page 121
8.4. Метод выделения главной части функции. Применение к выислению пределов……Page 122
9.1. Определение производной……Page 126
9.2. Дифференциал функции……Page 129
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала……Page 132
9.4. Физический смысл производной и дифференциала……Page 136
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями……Page 138
9.6. Производная обратной функции……Page 142
9.7. Производная и дифференциал сложной функции……Page 144
9.8. Гиперболтические функции их производные……Page 150
10.1. Производные высших порядков……Page 153
10.2. Свойства производных высших порядков……Page 154
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически……Page 156
10.4. Дифференциалы высших порядков……Page 159
11.1. Теорема Ферма……Page 161
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях……Page 163
12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя……Page 169
12.1. Неопределенность вида 0/0……Page 170
12.2. Неопределенность вида inf/inf……Page 173
13.1. Вывод формулы Тейлора……Page 178
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки……Page 181
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора……Page 184
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части)……Page 186
14.2. Экстремумы функций. Определение наибольших и наименьших значений функций……Page 189
14.3. Выпуклость и точки перегиба……Page 195
14.4. Асимптоты……Page 201
14.5. Построение графиков функций……Page 203
15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции……Page 214
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции……Page 217
16.1. Понятие кривой……Page 221
16.2. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции……Page 226
16.3. Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги……Page 229
16.4. Плоские кривые……Page 236
16.5. Физический смысл производной вектор-функции……Page 238
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющая скорости……Page 239
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление……Page 242
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость……Page 244
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых……Page 246
18.1. Окрестности и пределы последовательности точек……Page 252
18.2. Различные типы множеств……Page 262
19. Предел и непрерывность функций многих переменных……Page 270
19.1. Предел функции……Page 271
19.2. Непрерывность функций……Page 275
19.3. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций……Page 277
19.4. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах……Page 278
19.5. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности……Page 281
20.1. Частные производные и частные дифференциалы……Page 288
20.2. Дифференцируемость функции в точке……Page 291
20.3. Дифференцирование сложной функции……Page 298
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов……Page 301
20.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала……Page 307
20.6. Производная по направлению……Page 310
21.1. Частные производные высших порядков……Page 315
21.2. Дифференциалы высших порядков……Page 318
22.1. Первообразная и неопределенный интеграл……Page 323
22.2. Табличные интегралы……Page 326
22.3. Интегрирование подстановкой……Page 328
22.4. Интегрирование по частям……Page 330
23.1. Комплексные числа……Page 332
23.2. Некоторые понятия анализа в области комплекных чисел……Page 337
23.3. Разложение многочленов на множители……Page 341
23.4. Общий наибольший делитель многочленов……Page 343
23.5. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные……Page 348
24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей……Page 355
24.2. Общий случай……Page 357
24.3. Метод Остроградского……Page 359
25. Интегрирование некоторых иррациональностей……Page 364
25.1. Интегралы первого типа……Page 365
25.2. Интегралы второго типа. Подстановки Эйлера……Page 368
25.3. Интегралы от дифференциального бинома……Page 371
25.4. Интегралы четвертого типа……Page 374
26.1……Page 376
26.2……Page 378
26.3……Page 379
26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям……Page 380
26.5……Page 381
26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции……Page 382
27.1. Определение интеграла по Риману……Page 384
27.2. Ограниченность интегрируемой функции……Page 387
27.3. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу……Page 388
27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости……Page 391
27.5. Интегрирование непрерывных и монотонных функций……Page 393
28.1. свойства определенного интеграла……Page 395
28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла……Page 404
28.3. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций……Page 408
29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу……Page 410
29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу……Page 411
29.3. Формула Ньютона-Лейбница……Page 413
30.1. Замена переменного……Page 414
30.2. Интегрирование по частям……Page 416
31.1. Определение меры (площади) открытых множеств……Page 418
31.2. Монотонность меры открытых множеств……Page 420
32.1. Вычисление площадей……Page 428
32.2. Объем тел вращения……Page 434
32.3. Вычисление длины кривой……Page 436
32.4. Площадь поверхности вращения……Page 439
32.5. Работа силы……Page 443
32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой……Page 444
33.1. Определение……Page 447
33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов на конечном промежутке……Page 452
33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций на конечном промежутке……Page 454
33.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы на конечном промежутке……Page 462
34.1. Определение……Page 464
34.2. Фрмулы интегрального исчисления……Page 466
34.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций……Page 470
34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами. Метод улучшения сходимости интегр……Page 474
35.1. Определение ряда и его сходимость……Page 482
35.2. Свойства сходящихся рядов……Page 485
35.3. Критерий сходимости рядов……Page 487
35.4. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части n-ого члена ряда……Page 489
35.5. Знакопеременные ряды……Page 501
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды……Page 504
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Признак Дирихле……Page 511
36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов……Page 519
36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов……Page 523
36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей……Page 534
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара……Page 541
37.2. Аналитические функции……Page 548
37.3. Вещественные аналитические функции……Page 549
37.4. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора……Page 552
37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора……Page 557
37.6. Разложение в степенные ряды и суммирование степенных рядов методом почленного дифференцирования и интегрирования……Page 565
38.1. Кратные числовые ряды……Page 567
38.2. Кратные функциональные ряды……Page 573