Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам

Робертс Ф.С.

Излагаются методы дискретной математики, используемые при моделировании сложных систем различной природы. Представлен необходимый аппарат теории графов и рассмотрен ряд специальных вопросов, получивших развитие в последнее время: теория структурного баланса в знаковых графах, графы пересечений, устойчивость динамических процессов на графах. Существенное внимание уделяется задачам принятия решений, группового выбора и теории измерений. Рассмотрены также и более традиционные вопросы – цепи Маркова и теория игр. Для специалистов в области прикладной математики, экономики, охраны окружающей среды, теории принятия решений.

---

Table of contents :
Обложка ……Page 1
Титульный лист ……Page 2
Аннотация ……Page 3
Оглавление ……Page 4
От редактора перевода ……Page 8
Предисловие ……Page 12
Структуры глав и их сокращенные варианты ……Page 17
Введение. Обзор содержания книги ……Page 20
§ 1.1. Циклическая природа математического моделирования ……Page 25
§ 1.2. Пример: планирование одностороннего движения ……Page 26
§ 1.3. Этапы процесса математического моделирования ……Page 30
§ 1.4. Типы моделей ……Page 32
§ 2.1. Некоторые примеры ……Page 35
2.2.1. Достижимость ……Page 42
2.2.2. Расстояние ……Page 43
2.2.3. Соединимость ……Page 45
2.2.4. Категории связности ……Page 46
2.2.5. Критерии связности ……Page 47
2.2.6. Случай графов ……Page 49
2.3.1. Вершинные базы и сети коммуникаций ……Page 52
2.3.2. Теоремы и доказательства ……Page 55
2.3.3. Несколько определений для графов ……Page 56
2.4.1. Матрица смежности ……Page 59
2.4.2. Матрица достижимости ……Page 61
2.4.3. Матрица расстояний ……Page 64
3.1.2. Баланс в малых группах ……Page 68
3.1.3. Доказательство теоремы о структуре ……Page 73
§ 3.2. Турниры ……Page 81
3.3.1. Планирование транспортных потоков ……Page 91
3.3.2. Уязвимость ……Page 96
3.3.3. Транзитивная ориентируемость ……Page 97
3.4.1. Определение графа пересечений ……Page 104
3.4.2. Графы интервалов и их применения ……Page 105
3.4.3. Свойства графов интервалов ……Page 113
3.4.4. Доказательство лемм из п. 3.4.3 ……Page 119
3.4.6. Регулирование движения траспорта светофором ……Page 120
§ 3.5. Сеть питания ……Page 128
3.5.1. Размерность экологического фазового пространства ……Page 129
3.5.2. Трофический статус ……Page 133
3.6.1. Маршруты мусоровозов ……Page 141
3.6.2. Теоремы о раскраске ……Page 143
3.6.3. Проблема четырех красок ……Page 146
§ 4.1. Введение. Энергетические проблемы и другие приложения ……Page 153
§ 4.2. Некоторые сведения о собственных значениях ……Page 155
§ 4.3. Использование знаковых и взвешенных орграфов в качестве средства моделирования сложных систем ……Page 161
§ 4.4. Импульсные процессы ……Page 178
4.5.1. Определение устойчивости ……Page 186
4.5.2. Собственные значения и устойчивость ……Page 188
4.5.3. Структура и устойчивость. Розы ……Page 191
§ 4.6. Применение теории устойчивости ……Page 198
§ 4.7. Доказательство теорем 4.6-4.8 ……Page 208
§ 5.1. Стохастические процессы и цепи Маркова ……Page 220
§ 5.2. Вероятности перехода и орграфы перехода ……Page 224
§ 5.3. Классификация цепей Маркова и их состояний ……Page 234
§ 5.4. Поглощающие цепи ……Page 238
5.5.1. Определение регулярной цепи ……Page 248
5.5.2. Стационарные векторы ……Page 250
5.5.3. Среднее время первого возвращения ……Page 254
5.5.4. Доказательство теоремы 5.8 ……Page 255
5.6.1. Периодические свойства эргодических цепей ……Page 261
5.6.2. Обобщение свойств регулярных цепей Маркова ……Page 265
5.7.1. Теория Менделя ……Page 268
5.7.2. Прогнозы на основе теории Менделя ……Page 270
5.8.1. Модели загрязнения атмосферы ……Page 277
5.8.2. Модели денежных потоков ……Page 281
§ 5.9. Математические модели обучения ……Page 288
5.9.1. Линейная модель ……Page 289
5.9.2. Одноэлементная бинарная модель ……Page 290
5.9.3. Двухэлементная бинарная модель ……Page 294
5.9.4. Модель Эстеса ……Page 296
§ 5.10. Влияние и власть в социальных группах ……Page 303
§ 5.11. Диффузия и броуновское движение ……Page 315
§ 6.1. Игры в форме характеристической функции ……Page 318
6.2.1. Эффективное предпочтение ……Page 323
6.2.2. Нахождение ядра ……Page 325
§ 6.3. Устойчивые множества ……Page 332
§ 6.4. Существование непустого ядра ……Page 338
§ 6.5. Существование и единственность устойчивых множеств ……Page 342
6.6.1. Изоморфизм и S-эквивалентность ……Page 349
6.6.2. Геометрический подход ……Page 354
6.7.1. Аксиомы Шепли ……Page 357
6.7.2. Примеры ……Page 359
6.7.3. Простые игры ……Page 360
6.7.4. Вероятностная интерпретация цены Шепли и ее применение в законодательных органах ……Page 361
6.7.5. Доказательство формулы цены ……Page 365
§ 7.1. Функции группового выбора ……Page 370
7.2.1. Аксиомы Эрроу ……Page 377
7.2.2. Обсуждение ……Page 380
7.2.3. Доказательство теоремы Эрроу ……Page 383
§ 7.3. Совмещенные шкалы и условия однопиковоста предпочтений ……Page 388
7.4.1. Аксиомы Кемени-Снелла ……Page 396
7.4.2. Вычисление расстояния ……Page 400
7.4.3. Медианы и средние ……Page 402
7.4.4. Замечания ……Page 404
§ 8.1. Введение ……Page 412
8.2.1. Определение отношения ……Page 413
8.2.2. Свойства бинарных отношений ……Page 415
8.2.3. Операции ……Page 416
§ 8.3. Теория измерений ……Page 421
8.4.1. Регулярные шкалы ……Page 427
8.4.2. Тип шкалы ……Page 428
8.4.3. Примеры содержательных и бессодержательных утверждений ……Page 431
8.5.1. Теорема представления ……Page 439
8.5.2. Гипотеза ожидаемой полезности ……Page 445
8.5.3. Теорема единственности ……Page 447
8.5.4. Замечания ……Page 448
8.6.1. Теорема Гельдера ……Page 452
8.6.2. Единственность ……Page 456
8.6.3. Замечания ……Page 458
§ 8.7. Примеры фундаментальных измерений III. Совместное измерение ……Page 461
8.8.1. Теорема Скотта-Суппеса ……Page 470
8.8.2. Единственность ……Page 473
8.8.3. Интервальные порядки и нечисловые измерения ……Page 474
Список литературы ……Page 479
Предметный указатель ……Page 492