Стохастические методы в естественных науках

Гардинер К.В.

Table of contents :
Предисловие редактора перевода……Page 16
Предисловие редактора серии «Синергетика»……Page 19
Предисловие к 2-му изданию……Page 20
Предисловие к 1-му изданию……Page 21
Список обозначений……Page 26
1.1. Предыстория вопроса……Page 30
1.2.1. Броуновское движение……Page 31
1.2.2. Уравнение Ланжевена……Page 36
1.3. Процессы рождения — гибели……Page 39
1.4. Шум в радиоэлектронных устройствах……Page 42
1.4.1. Дробовой шум……Page 43
1.4.2. Автокорреляционные функции и спектральные плотности……Page 48
1.4.3. Фурье-анализ случайных функций: стационарные системы……Page 50
1.4.4. Тепловой шум и теорема Найквиста……Page 51
2.1. События и множества событий……Page 56
2.2. Вероятности……Page 57
2.2.2. Смысл Р(А)……Page 58
2.2.3. Смысл аксиом……Page 59
2.2.4. Случайные переменные……Page 60
2.3.1. Совместные вероятности……Page 61
2.3.2. Условные вероятности……Page 62
2.3.3. Соотношения между совместными вероятностями различных порядков……Page 63
2.3.4. Независимость……Page 64
2.4. Средние значения и плотности вероятности……Page 65
2.4.2. Множества нулевой вероятности……Page 66
2.5. Средние……Page 67
2.5.2. Закон больших чисел……Page 68
2.6. Характеристическая функция……Page 70
2.7. Производящая функция кумулянтов: корреляционные функции и кумулянты……Page 71
2.7.1. Пример: кумулянт 4-го порядка……Page 73
2.7.2. Значимость кумулянтов……Page 74
2.8.1. Гауссовское распределение……Page 75
2.8.2. Центральная предельная теорема……Page 76
2.8.3. Пуассоновское распределение……Page 77
2.9. Пределы последовательностей случайных переменных……Page 78
2.9.3. Стохастический предел, или предел по вероятности……Page 79
2.9.5. Взаимосвязь различных пределов……Page 80
3.1. Стохастические процессы……Page 81
3.2. Марковский процесс……Page 82
3.2.1. Согласованность. Уравнение Чепмена — Колмогорова……Page 83
3.3. Понятие непрерывности для стохастических процессов……Page 84
3.3.1. Математическое определение непрерывного марковского процесса……Page 86
3.4. Дифференциальное уравнение Чепмена — Колмогорова……Page 87
3.4.1. Вывод дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова……Page 89
3.4.2. Статус дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова……Page 92
3.5.1. Скачкообразные процессы. Управляющее уравнение……Page 93
3.5.2. Диффузионные процессы. Уравнение Фоккера — Планка……Page 94
3.5.3. Детерминированные процессы. Уравнения Лиувилля……Page 95
3.5.4. Процессы общего вида……Page 97
3.6. Уравнения, описывающие изменение вероятностей при изменении начального времени. Обратные уравнения……Page 98
3.7. Стационарные и однородные марковские процессы……Page 99
3.7.1. Эргодические свойства стационарного процесса……Page 100
3.7.2. Однородные процессы……Page 103
3.7.3. Приближение к стационарному процессу……Page 104
3.7.4. Автокорреляционная функция марковских процессов……Page 109
3.8.1. Винеровский процесс……Page 112
3.8.2. Одномерные случайные блуждания……Page 116
3.8.3. Пуассоновский процесс……Page 120
3.8.4. Процесс Орнштейна — Уленбека……Page 122
3.8.5. Случайный телеграфный процесс……Page 126
4.1. Обоснования……Page 128
4.2.1. Определение стохастического интеграла……Page 131
4.2.2. Пример……Page 133
4.2.4. Неупреждающие функции……Page 135
4.2.5. Доказательство основных соотношений……Page 136
4.2.6. Свойства стохастического интеграла Ито……Page 138
4.3.1. Стохастическое дифференциальное уравнение Ито. Определение……Page 143
4.3.3. Замена переменных. Формула Ито……Page 146
4.3.4. Связь между уравнением Фоккера — Планка и стохастическим дифференциальным уравнением……Page 147
4.3.5. Системы с несколькими переменными……Page 148
4.3.6. Стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича……Page 150
4.3.7. Зависимость решений от начальных условий и параметров……Page 153
4.4.1. Коэффициенты, не зависящие от х……Page 155
4.4.2. Мультипликативный линейный белый шум……Page 156
4.4.3. Комплексный осциллятор с шумящей частотой……Page 157
4.4.4. Процесс Орнштейна — Уленбека……Page 159
4.4.5. Переход от декартовых координат к полярным……Page 160
4.4.6. Процесс Орнштейна — Уленбека для случая многих переменных……Page 162
4.4.7. Общее линейное уравнение для одной переменной……Page 166
4.4.8. Линейные уравнения для многих переменных……Page 168
4.4.9. Процесс Орнштейна — Уленбека, зависящий от времени……Page 169
5.1. Общие замечания……Page 171
5.2. Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае……Page 172
5.2.1. Граничные условия……Page 173
5.2.2. Стационарные решения однородных уравнений Фоккера — Планка……Page 179
5.2.3. Примеры стационарных решений……Page 181
5.2.4. Граничные условия для обратного уравнения Фоккера — Планка……Page 184
5.2.5. Методы собственных функций (однородные процессы)……Page 185
5.2.6. Примеры……Page 188
5.2.7. Время достижения границы для случая однородных процессов……Page 192
5.2.8. Вероятность достижения того или иного конца интервала……Page 198
5.3. Уравнения Фоккера — Планка в многомерном случае……Page 200
5.3.1. Замена переменных……Page 201
5.3.2. Граничные условия……Page 203
5.3.3. Стационарные решения: потенциальные условия……Page 204
5.3.4. Детальный баланс……Page 205
5.3.5. Следствия детального баланса……Page 208
5.3.6. Примеры детального баланса в уравнениях Фоккера — Планка……Page 214
5.3.7. Методы собственных функций для случая многих переменных. Однородные процессы……Page 225
5.4. Время первого достижения границы области (однородные процессы)……Page 230
5.4.1. Решения задач, связанных с достижением границ……Page 232
5.4.2. Распределение точек выхода……Page 235
6.1. Теории возмущений, основанные на малости шума……Page 238
6.2. Разложения по малому шуму для стохастических дифференциальных уравнений……Page 241
6.2.1. Пределы применимости разложения……Page 244
6.2.2. Стационарные решения (однородные процессы)……Page 245
6.2.3. Среднее значение, дисперсия и временная корреляционная функция……Page 246
6.2.4. Сложности теории возмущений для малого шума……Page 247
6.3. Разложение по малому шуму для уравнения Фоккера — Планка……Page 250
6.3.1. Уравнения для моментов и автокорреляционных функций……Page 252
6.3.2. Пример……Page 255
6.3.3. Асимптотический метод для стационарного распределения……Page 257
6.4. Адиабатическое исключение быстрых переменных……Page 258
6.4.1. Абстрактная формулировка на языке операторов и проекций……Page 261
6.4.2. Решение с использованием преобразования Лапласа……Page 264
6.4.3. Поведение на малых временных масштабах……Page 267
6.4.4. Граничные условия……Page 269
6.4.5. Систематический анализ в рамках теории возмущений……Page 271
6.5. Белый шум как предельный случай коррелированного процесса……Page 275
6.5.1. Общность результата……Page 280
6.5.2. Более общие флуктуационные уравнения……Page 281
6.5.3. Системы, неоднородные во времени……Page 282
6.5.4. Учет зависимости L1 от времени……Page 283
6.6.1. Пример: исключение короткоживущих промежуточных продуктов химической реакции……Page 284
6.6.2. Адиабатическое исключение в модели Хакена……Page 289
6.6.3. Адиабатическое исключение быстрых переменных: нелинейный случай……Page 294
6.6.4. Пример с произвольной нелинейной связью……Page 299
7. УПРАВЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ И СКАЧКООБРАЗНЫЕ ПРОЦЕССЫ……Page 302
7.1. Управляющие уравнения рождения — гибели: одномерный случай……Page 303
7.1.1. Стационарные решения……Page 304
7.1.2. Пример: химическая реакция XA……Page 306
7.1.3. Химическая бистабильная система……Page 309
7.2.1. Приближение диффузионного процесса скачкообразным процессом……Page 314
7.2.2. Разложение Крамерса — Мойала……Page 318
7.2.3. Разложение ван Кампена по обратному размеру системы……Page 319
7.2.4. Теорема Курца……Page 324
7.2.5. Критические флуктуации……Page 325
7.3. Граничные условия для процессов рождения — гибели……Page 327
7.4. Среднее время достижения границы……Page 329
7.4.2. Сравнение с уравнением Фоккера — Планка……Page 331
7.5. Многомерные системы рождения — гибели……Page 332
7.5.1. Стационарные решения при наличии детального баланса……Page 334
7.5.2. Стационарные решения в отсутствие детального баланса (решение Кирхгофа)……Page 336
7.5.3. Разложение по обратному размеру системы и аналогичные разложения……Page 337
7.6.2…….Page 338
7.6.3. Система хищник — жертва……Page 339
7.6.4. Уравнения для производящих функций……Page 344
7.7. Представление Пуассона……Page 349
7.7.3. Комплексные представления Пуассона……Page 354
7.7.4. Положительное представление Пуассона……Page 358
7.7.5. Временные корреляционные функции……Page 362
7.7.6. Тримолекулярные реакции……Page 369
7.7.7. Шум третьего порядка……Page 374
8.1. Общие замечания……Page 379
8.1.1. Функциональные уравнения Фоккера — Планка……Page 382
8.2.1. Диффузия……Page 384
8.2.2. Управляющее уравнение диффузии в континуальной форме……Page 385
8.2.3. Совместное рассмотрение химических реакций и диффузии……Page 391
8.2.4. Метод представления Пуассона……Page 392
8.3.1…….Page 393
8.3.2…….Page 398
8.3.3. Нелинейная модель с фазовым переходом второго рода……Page 404
8.4.1. Явное адиабатическое исключение неоднородных мод……Page 409
8.5. Управляющее уравнение в фазовом пространстве……Page 412
8.5.1. Независимое движение молекул и соответствующий ему поток вероятности……Page 413
8.5.2. Поток как процесс рождения — гибели……Page 414
8.5.3. Введение столкновений. Управляющее уравнение Больцмана……Page 417
8.5.4. Совместное рассмотрение потока и столкновений……Page 421
9. БИСТАБИЛЬНОСТЬ, МЕТАСТАБИЛЬНОСТЬ……Page 425
9.1.1. Поведение системы в случае D=0……Page 426
9.1.2. Поведение системы при очень малых значениях D……Page 427
9.1.3. Время достижения границы……Page 428
9.1.4. Расщепленная вероятность……Page 429
9.1.5. Распад неустойчивого состояния……Page 431
9.2. Установление равновесия заселенностей каждой потенциальной ямы……Page 432
9.2.1. Метод Крамерса……Page 433
9.2.2. Пример: обратимая денатурация химотрипсиногена……Page 437
9.2.3. Бистабильность, описываемая управляющим уравнением для процессов рождения — гибели (случай одной переменной)……Page 440
9.3. Бистабильность в системах со многими переменными……Page 442
9.3.1. Распределение точек достижения границы……Page 443
9.3.2. Асимптотический анализ среднего времени достижения границы……Page 448
9.3.3. Метод Крамерса для случая нескольких измерений……Page 450
9.3.4. Пример. Броуновское движение в потенциале с двумя ямами……Page 452
10. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ……Page 460
10.1. Квантовомеханическая теория гармонического осциллятора……Page 461
10.1.1. Взаимодействие с внешним полем……Page 462
10.1.2. Свойства когерентных состояний……Page 463
10.2. Матрица плотности и распределения вероятностей……Page 468
10.2.1. Уравнение Неймана……Page 470
10.2.2. Р-представление Глаубера — Сударшана……Page 471
10.2.3. Операторное соответствие……Page 472
10.2.4. Применение к возмущенному гармоническому осциллятору……Page 473
10.2.5. Квантовая характеристическая функция……Page 475
10.3. Квантовые марковские процессы……Page 476
10.3.1. Термостат……Page 477
10.3.2. Корреляция гладких функций от операторов термостата……Page 478
10.3.3. Квантовое управляющее уравнение для системы, взаимодействующей с термостатом……Page 479
10.4.1. Гармонический осциллятор……Page 484
10.4.2. Действие возмущения на атом с двумя энергетическими уровнями……Page 489
10.5. Временные корреляционные, функции квантовых марковских процессов……Page 493
10.5.1. Квантовая теорема регрессии……Page 495
10.5.2. Применение к гармоническому осциллятору в P-представлении……Page 496
10.5.3. Временные корреляторы для двухуровневого атома……Page 499
10.6. Обобщенные P-представления……Page 500
10.6.1. Определение обобщенного P-представления……Page 502
10.6.2. Теоремы существования……Page 503
10.6.4. Операторные тождества……Page 506
10.7. Применение обобщенных Р-представлений к уравнениям эволюции во времени……Page 508
10.7.2. Положительное Р-представление……Page 509
10.7.3. Пример……Page 511
Литература……Page 514
Литература с комментариями……Page 519
Предметный указатель……Page 7