Курс теории вероятностей

Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л.

В основу учебного пособия положен годовой курс лекций, которые авторы в течение ряда лет читали для студентов механико-математического факультета Белорусского государственного университета. В книге содержатся следующие разделы: вероятностные пространства, независимость, случайные величины, числовые характеристики случайных величин, характеристические функции, предельные теоремы, основы теории случайных процессов, элементы математической статистики и приложения, в которых приведены таблицы основных вероятностных распределений и значения некоторых из них. Большинство глав включает в себя дополнения, куда вынесены вспомогательный материал и темы для самостоятельного изучения. Изложение сопровождается большим количеством примеров, упражнений и задач, иллюстрирующих основные понятия и поясняющих возможные применения доказанных утверждений.Для студентов математических специальностей университетов.

---

Table of contents :
Курс теории вероятностей……Page 1
СОДЕРЖАНИЕ……Page 3
ПРЕДИСЛОВИЕ……Page 5
ВВЕДЕНИЕ……Page 6
§ 1. Терминология теории вероятностей……Page 9
§ 2. Аксиоматика Колмогорова……Page 15
§ 3. Примеры вероятностных пространств……Page 20
§ 1. Основные понятия комбинаторики……Page 26
§ 2. Классические теоретико-вероятностные модели……Page 30
§ 3. Частотное (статистическое) определение……Page 33
§ 4. Борелевские сигма-алгебры……Page 34
Задачи……Page 36
§ 1. Условные вероятности……Page 39
§ 2. Независимость событий……Page 43
§ 3. Независимые испытания……Page 46
§ 1. Предельные теоремы в схеме Бернулли……Page 51
§ 2. Цепи Маркова……Page 54
Задачи……Page 58
§ 1. Случайные величины и их распределения……Page 60
§ 2. Классификация случайных величин……Page 67
§ 3. Многомерные случайные величины……Page 79
§ 4. Независимость случайных величин……Page 86
§ 1. Функциональные преобразования случайных величин……Page 91
Задачи……Page 93
§ 1. Математическое ожидание и его свойства……Page 95
§ 2. Моменты случайных величин……Page 103
§ 3. Неравенства. Коэффициент корреляции……Page 109
§ 1. Интеграл Лебега……Page 116
§ 2. Интегралы Римана – Стилтьеса и Лебега – Стилтьеса……Page 117
§ 3. Условные математические ожидания……Page 120
Задачи……Page 124
§ 1. Определение и простейшие свойства……Page 127
§ 2. Формулы обращения для характеристических функций……Page 136
§ 3. Непрерывность соответствия между множествами функций распределения и характеристических функций……Page 141
§ 1. Производящие функции……Page 149
§ 2. Решетчатые распределения……Page 151
§ 3. Многомерные характеристические функции……Page 152
§ 4. Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения……Page 154
Распределение Фишера……Page 158
§ 1. Центральная предельная теорема……Page 161
§ 2. Сходимость случайных величин……Page 172
Закон больших чисел……Page 176
§ 1. Сходимость рядов……Page 189
Задачи……Page 195
§ 1. Определение случайного процесса……Page 198
§ 2. Случайные процессы с независимыми приращениями……Page 204
Стандартный процесс броуновского движения……Page 216
§ 4. Марковские случайные процессы……Page 228
§ 1. Обобщенные случайные процессы……Page 235
Задачи……Page 249
Глава 8.  ЭЛЕМЕНТЫ  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ……Page 252
§ 1. Основные понятия и элементы выборочной теории……Page 253
§ 2. Оценивание неизвестных параметров……Page 260
§ 3. Проверка статистических гипотез……Page 281
§ 4. Параметрические гипотезы……Page 287
§ 5. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов……Page 294
Задачи……Page 299
ПРИЛОЖЕНИЯ……Page 301
ЛИТЕРАТУРА……Page 307
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ……Page 309
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ……Page 314
Иллюстрации в Mathematica……Page 0
Операции между двумя событиями A и B……Page 11
Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа……Page 52
Распределение Бернулли……Page 69
Гипергеометрическое распределение……Page 70
Логарифмического ряда распределение……Page 71
Нормальное распределение……Page 72
Равномерное на отрезке [a;b] распределение……Page 73
Бета-распределение……Page 74
Распределение экстремальных значений……Page 75
Распределение Вейбулла-Гнеденко……Page 76
Сравнение нормальной и равномерной случайных величин……Page 77
Распределение Стьюдента……Page 156
Центральная предельная теорема……Page 162
Усиленный закон больших чисел……Page 183
Случайный процесс Пуассона……Page 211
Случайный процесс броуновского движения……Page 214
Полигон частот……Page 256