Курс математического анализа

Камынин Л.И.5211020650

Table of contents :
Титульный лист……Page 1
Следствие……Page 2
Замечание 3 (о теореме Грина для многосвязной плоской области)……Page 611
Определения сходящегося и расходящегося ряда……Page 3
Определение сходящегося и расходящегося бесконечного произведения……Page 4
Определение сходящегося и расходящегося несобственного интеграла с бесконечным (верхним) пределом интегрирования……Page 5
Определение сходящегося и расходящегося несобственного интеграла от неограниченной функции……Page 7
Следствие (необходимое условие сходимости числового ряда)……Page 9
Теорема (критерий Коши сходимости несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования)……Page 10
Замечание (критерий Гейне сходимости несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования)……Page 11
Замечание (критерий Гейне сходимости несобственного интеграла от неограниченной функции)……Page 12
Теорема 1 (о сумме сходящихся рядов)……Page 13
Теорема 1″ (о сумме сходящихся несобственных интегралов от неограниченных функций)……Page 14
Теорема 2′ (аналог для несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования)……Page 15
Замечание (достаточное условие сохранения суммы ряда при раскрытии скобок)……Page 16
Теорема (критерий сходимости несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования от неотрицательной функции)……Page 17
Следствие 2 (теорема сравнения в предельной форме для рядов)……Page 18
Следствие 2 (теорема сравнения в предельной форме для несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования)……Page 19
Теорема (признак Д’Аламбера сходимости рядов)……Page 20
Теорема (радикальный признак Коши сходимости рядов)……Page 21
Теорема (критерий сходимости бесконечного произведения)……Page 22
Замечание (достаточный признак расходимости бесконечного произведения к нулю)……Page 23
Теорема (интегральный признак Коши сходимости знакопостоянного ряда)……Page 24
Лемма (об асимптотике знакоположительной последовательности)……Page 25
Теорема (формула Стирлинга)……Page 28
Теорема (формула Валлиса)……Page 29
§ 5. Признаки сходимости знакопеременных рядов и несобственных интегралов от знакопеременных функций……Page 30
Замечание (об оценке остатка сходящегося знакочередующегося ряда)……Page 31
Теорема (признак Дирихле сходимости знакопеременного ряда)……Page 32
Теорема (признак Дирихле сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования)……Page 33
Теорема (признак Дирихле сходимости несобственных интегралов от неограниченной функции……Page 34
Теорема (о замене переменной интегрирования в несобственных интегралах)……Page 35
Теорема (об интегрировании по частям в несобственном интеграле)……Page 36
Теорема Фруланни……Page 37
§ 6. Абсолютно и условно сходящиеся ряды (несобственные интегралы) и их свойства……Page 39
Замечание (критерий сходимости ряда с комплексными членами)……Page 40
Теорема (о сходимости абсолютно сходящегося ряда)……Page 41
Теорема (о сходимости абсолютно сходящегося несобственного интеграла)……Page 42
Теорема (критерий абсолютной •сходимости бесконечного произведения)……Page 43
Следствие (критерий условной сходимости числового ряда с действительными членами)……Page 44
Теорема (о перестановке членов в абсолютно сходящемся ряде)……Page 45
Теорема (об абсолютной сходимости безусловно сходящегося ряда)……Page 46
Теорема Дирихле — Римана……Page 47
Теорема (о суммировании по блокам абсолютно сходящегося ряда)……Page 48
Теорема (о двойных рядах)……Page 50
Теорема Абеля (об умножении двух абсолютно сходящихся рядов)……Page 52
Теорема Мертенса (об умножении двух рядов)……Page 53
Определение простой (или поточечной) сходимости функциональной последовательности на множестве……Page 55
Определение равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве……Page 56
Определение неравномерной сходимости функционального ряда на множество……Page 57
Определение равномерной сходимости на множестве функции $u(x,t)$ к пределу по базе $(xto x_0)$……Page 58
Теорема 1 (о непрерывности интеграла Римана, зависящего от параметра)……Page 59
Теорема 2 (о дифференцируемости интеграла Римана, зависящего от параметра)……Page 60
Теорема 3 (об интегрировании интеграла Римана, зависящего от параметра)……Page 62
Замечание (об эквивалентности понятий равномерной сходимости функции на множестве и равномерной сходимости функционального ряда)……Page 64
Определение неравномерной сходимости на множестве несобственного интеграла (зависящего от параметра) с бесконечными пределами интегрирования……Page 65
Определение равномерной сходимости на множестве несобственного интеграла (зависящего от параметра) от неограниченной функции……Page 66
§ 3. Признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей, функциональных рядов и несобственных интегралов, зависящих от параметра……Page 67
Теорема (критерий Коши равномерного стремления функции к пределу)……Page 68
Определение метрических пространств $В([а,b])$ и $C([а,b])$ с метрикой Чебышева……Page 69
Теорема (критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования)……Page 70
Теорема (критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов (зависящих от параметра) от неограниченных функций)……Page 71
Теорема (признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда)……Page 72
Теорема Дини (достаточное условие равномерной сходимости функциональной последовательности)……Page 74
Теорема Дини (для несобственного интеграла, зависящего от параметра, с бесконечными пределами интегрирования)……Page 76
Теорема Дини (для несобственного интеграла, зависящего от параметра, от неограниченной функции)……Page 77
Следствие (теорема Дини для монотонного семейства функций)……Page 78
Теорема (признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда)……Page 79
Теорема (признак Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, с бесконечными пределами интегрирования)……Page 81
Теорема (признак Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, от неограниченных функций)……Page 83
Теорема (о повторных пределах)……Page 84
Теорема (о предельном переходе в равномерно сходящейся функциональной последовательности)……Page 86
Следствие 3 (о полноте пространства С(К))……Page 87
Следствие 4 (теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций)……Page 88
Теорема (пример Бан-дер-Вардена непрерывной функции, не дифференцируемой ни в одной точке)……Page 89
Теорема 1 (о непрерывности равномерно сходящегося несобственного интеграла (зависящего от параметра) с бесконечными пределами интегрирования)……Page 91
Теорема 2 (о непрерывности равномерно сходящегося несобственного интеграла от неограниченной функции, зависящей от параметра)……Page 92
Теорема (об интегрируемости по Риману равномерного предела функции, интегрируемой по Риману)……Page 93
Теорема (об интегрировании функции, равномерно стремящейся к пределу)……Page 94
Следствие 2 (теорема об интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда)……Page 95
Следствие 3 (теорема об интегрировании равномерно сходящегося несобственного интеграла (зависящего от параметра) с бесконечными пределами интегрирования)……Page 96
Теорема (об интегрировании монотонного семейства функций)……Page 97
Теорема (о предельном переходе в несобственном интеграле, зависящем от параметра)……Page 99
Следствие 1 (теорема об интегрировании функциональной последовательности по бесконечному промежутку)……Page 101
Следствие 2 (теорема об интегрировании функционального ряда по бесконечному промежутку)……Page 102
Теорема 1 (о перестановке порядка интегрирования в повторных несобственных интегралах)……Page 103
Следствие (о перестановке порядка интегрирования в повторном несобственном интеграле от неотрицательной функции)……Page 105
Теорема 2 (о перестановке порядка интегрирования в повторном несобственном интеграле)……Page 106
Теорема 1 (о дифференцировании функциональной последовательности)……Page 108
Следствие 2 (о кратном почленном дифференцировании функционального ряда)……Page 109
Теорема (о дифференцировании несобственного интеграла, зависящего от параметра, с бесконечными пределами интегрирования)……Page 110
Теорема (интеграл Дирихле)……Page 111
Теорема (интеграл Пуассона)……Page 113
Теорема 2 (о дифференцировании функциональной последовательности)……Page 116
Замечание (обобщение теоремы 2 о дифференцировании функциональной последовательности)……Page 117
Следствие (теорема о почленном дифференцировании функционального ряда)……Page 118
Теорема (критерий предкомпактности в полном метрическом пространстве)……Page 119
Теорема Арцеля (критерий предкомпактности в С(К))……Page 120
Теорема (критерий равностепенной непрерывности семейства функций)……Page 123
Теорема (об алгебраических действиях над равномерно сходящимися функциональными последовательностями)……Page 124
Теорема (правило умножения комплексных чисел)……Page 126
Первая теорема Абеля (для степенных рядов)……Page 127
Замечание (о верхнем пределе последовательности)……Page 128
Теорема (формула Коши—Адамара)……Page 129
Теорема (о равномерной сходимости степенного ряда)……Page 131
Вторая теорема Абеля (для степенных рядов)……Page 132
Теорема (об умножении условно сходящихся числовых рядов)……Page 133
Замечания (об алгебраических действиях над степенными рядами)……Page 134
Теорема единственности (для степенных рядов)……Page 136
Теорема (о синусе и косинусе)……Page 137
§ 3. Степенные ряды в действительной области……Page 139
Теорема единственности (для степенного ряда)……Page 140
Теорема (о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда в действительной области)……Page 141
Следствие (теорема о бесконечной дифференцируем ости суммы степенного ряда в действительной области)……Page 142
Определение рядов Тейлора и Маклорена для функций, бесконечно дифференцируемых в точке……Page 143
Теорема (достаточное условие разложимости функции в ее ряд Тейлора)……Page 144
Следствие 2 (разложение в степенные ряды экспоненты, гиперболических синуса и косинуса, тригонометрических синуса и косинуса)……Page 145
Замечание 2 (биномиальный ряд)……Page 146
Теорема (о периодичности экспоненциальной функции)……Page 148
Обобщенная теорема Вейерштрасса……Page 149
Лемма (о ядре Пуассона)……Page 150
Следствие (теорема Вейерштрасса)……Page 154
Теорема (о свойствах гамма-функции Эйлера)……Page 156
Теорема (о свойствах бета-функции Эйлера)……Page 159
Замечание (о вычислении тригонометрических интегралов с помощью интегралов Эйлера)……Page 163
Замечание (о записи тригонометрического ряда Фурье в комплексной форме)……Page 164
Теорема (о равномерно сходящемся тригонометрическом ряде)……Page 165
Замечание (о существовании тригонометрического ряда, не являющегося рядом Фурье для своей суммы)……Page 166
Следствие (о коэффициентах Фурье для четной и нечетной периодических функций)……Page 167
Следствие (о равномерной сходимости тригонометрического ряда для функции с периодом $2l$)……Page 168
Определение ортогональной системы в $R[a,b]$……Page 169
Теорема (о равномерна сходящемся ортогональном ряде)……Page 170
Теорема (о неравенстве Бесселя)……Page 171
Следствие 3 (неравенство Бесселя для тригонометрической системы)……Page 172
Следствие 4 (о стремлении к нулю коэффициентов Фурье (по тригонометрической системе) функции $fin R[—pi,pi]$……Page 174
Теорема (об экстремальных свойствах коэффициентов Фурье)……Page 175
Теорема (об эквивалентности полноты и замкнутости для ортонормированной системы в евклидовом пространстве)……Page 178
Теорема (о сходимости ряда Фурье в полном евклидовом пространстве)……Page 180
Следствие 2 (теорема Фишера—Рисса в полном евклидовом пространстве)……Page 181
Теорема (условие замкнутости ортонормированной системы в полном евклидовом пространстве)……Page 182
Определение ядра Дирихле……Page 183
Свойства ядра Дирихле……Page 184
Определение регулярной точки периодической функции……Page 185
Теорема (признак Дини сходимости ряда Фурье в регулярной точке)……Page 187
Следствие I (признаки сходимости рядов Фурье для непрерывных периодических функций)……Page 189
Следствие II (признаки сходимости рядов Фурье для кусочно-непрерывных периодических функций)……Page 190
Теорема (о равномерной сходимости ряда Фурье)……Page 191
Следствие 1 (о равномерной сходимости ряда Фурье для функции, являющейся первообразной для функции $fin R[—pi,pi]$……Page 192
Следствие 2 (о равномерной сходимости ряда Фурье для непрерывной кусочно-линейной функции)……Page 193
Теорема (о порядке убывания коэффициентов Фурье у гладкой периодической функции)……Page 194
2-я теорема Вейерштрасса (о равномерном приближении непрерывной функции тригонометрическими многочленами)……Page 195
Лемма (о приближении в $R[—pi,pi]$ функции кусочно-линейными функциями)……Page 196
Теорема (о полноте в $R[—pi,pi]$ системы тригонометрических функций……Page 197
Теорема (о единственности ряда Фурье для непрерывной функции)……Page 199
Следствие 1 (достаточное условие разложимости непрерывной функции в свой ряд Фурье)……Page 200
Лемма (о равномерном стремлении к нулю тригонометрических интегралов)……Page 201
Теорема (признак Дини равномерной сходимости ряда Фурье)……Page 203
Следствие 2 (о равномерной сходимости ряда Фурье для гельдеровой функции)……Page 205
Теорема (формула дополнения для гамма-функции Эйлера)……Page 206
Теорема (о дифференцировании ряда Фурье)……Page 209
Следствие 3 (о кратном дифференцировании ряда Фурье)……Page 210
Теорема (о скорости сходимости ряда Фурье для гладкой периодической функции)……Page 211
Замечание (о четном периодическом продолжении функции с отрезка $[0,pi]$ на $(-infty,+infty)$)……Page 215
Замечание (о нечетном периодическом продолжении функции с отрезка $[0,pi]$ на $(-infty,+infty)$)……Page 217
Явление Гиббса……Page 222
Определение интеграла Фурье……Page 224
Теорема 1 (о непрерывности специального несобственного интеграла, зависящего от параметра)……Page 225
Теорема 2 (о дифференцировании по параметру специального несобственного интеграла)……Page 226
Теорема 3 (об интегрировании в конечных пределах специального несобственного интеграла)……Page 228
Лемма (об убывании тригонометрических интегралов)……Page 229
Теорема (признак Дини сходимости интеграла Фурье)……Page 230
Следствие 3 (о сходимости интегралов Фурье для гладких функций)……Page 233
Определение главного значения по Коши для несобственных интегралов……Page 234
Теорема (формула Фурье для интеграла Фурье в комплексной форме)……Page 236
§ 2. Преобразование Фурье……Page 237
Определение преобразования Фурье $F[f]$……Page 238
Определение косинус-преобразования Фурье и синус-преобразования Фурье……Page 241
Пример (вычисление интегралов Лапласа)……Page 242
Теорема обращения (для преобразования Фурье и для обратного преобразования Фурье)……Page 244
Теорема (о биективности преобразования Фурье)……Page 245
Теорема (о преобразовании Фурье дифференцируемой функции)……Page 246
Теорема (о связи между скоростью убывания функции на бесконечности и степенью гладкости ее преобразования Фурье)……Page 248
Теорема (достаточное условие существования свертки)……Page 249
Теорема (о преобразовании Фурье свертки)……Page 252
Замечание (о приложении преобразования Фурье к решению задачи Коши для уравнения теплопроводности)……Page 254
Теорема (о биективности преобразования Фурье на $S$)……Page 257
Теорема (о свойствах свертки в $S$)……Page 259
Теорема (о равенстве Парсеваля в $S$)……Page 261
Литература……Page 262
§ 1. Определение интеграла Римана на брусе в $mathbb{R}^n$……Page 263
Теорема (о необходимом условии интегрируемости функции по Риману)……Page 266
Теорема (о формулах Дарбу)……Page 267
Теорема 1 (о суммах Дарбу)……Page 268
Следствие 1 (определение верхнего и нижнего интегралов Дарбу)……Page 270
Теорема (о предельном критерии интегрируемости по Риману на брусе)……Page 271
Теорема (о критерии Дарбу интегрируемости по Риману на брусе)……Page 272
Теорема (о критерии интегрируемости по Риману на брусе)……Page 273
Теорема (о мере подмножества множества меры нуль)……Page 274
Теорема (об инвариантности меры нуль при непрерывно дифференцируемом отображении)……Page 275
Замечание (примеры счетных баз в $mathbb{R}^n$)……Page 277
Теорема [(достаточный признак равенства меры нулю)……Page 278
Теорема (о мере графика непрерывной функции)……Page 280
Теорема Сарда (для $m=n$)……Page 282
Определение множества $n$-объема нуль……Page 284
Теорема (об объеме бруса)……Page 285
Теорема (об объеме компактного множества меры нуль)……Page 286
Теорема (об объеме границы множества, имеющего $n$-объем нуль)……Page 287
§ 4. Критерий Лебега интегрируемости по Риману на брусе в $mathbb{R}^n$……Page 288
Теорема Кантора (для разрывных функций)……Page 289
Критерий Лебега (интегрируемости по Риману на брусе)……Page 290
Теорема (об эквивалентности двух определений множества объема нуль)……Page 294
Теорема (о сохранении измеримости по Жордану при непрерывно дифференцируемом отображении)……Page 296
Теорема (об образах регулярных точек при биективном непрерывно дифференцируемом ^отображении)……Page 297
§ 1. Интеграл Римана на ограниченных множествах из $mathbb{R}^n$ и его свойства……Page 299
Критерий Лебега интегрируемости по Риману на измеримом по Жордану множестве……Page 300
Теорема 1 (о сложении функций, интегрируемых по Риману)……Page 301
Теорема 2 (об умножении’ функций, интегрируемых по Риману)……Page 302
Теорема 4 (об интегрируемости модуля функции)……Page 303
Теорема 5 (о конечной аддитивности интеграла Римана)……Page 304
Теорема 7 (об оценках интеграла Римана)……Page 305
Теорема 8 (об интегрировании неравенств)……Page 306
Лемма 1 (о характеристической функции объединения множеств)……Page 307
Теорема 10 (об усиленной аддитивности интеграла Римана)……Page 308
Теорема (о свойствах меры Жордана)……Page 309
Теорема (о корректности определения интеграла Римана на ограниченном множестве)……Page 310
Лемма 2 (об интеграле от непрерывной функции)……Page 311
Теорема 12 (об равном нулю интеграле Римана от неотрицательной функции)……Page 312
Теорема 13 (о равенстве интегралов для интегрируемых по Риману функций, отличающихся на множестве меры нуль)……Page 313
Обобщенная интегральная теорема о среднем……Page 314
Теорема Фубини (о сведении кратного интеграла Римана к повторным на брусе)……Page 315
Теорема Фубини (для непрерывной функции на брусе)……Page 319
Теорема Фубини (для непрерывной финитной функции)……Page 321
Теорема Фубини (для цилиндроидов)……Page 322
Теорема Кавальери……Page 324
Теорема (о разбиении единицы, индуцируемом диффеоморфизмом)……Page 325
Определение (Е) несобственного интеграла……Page 326
Теорема (о корректности определений (Е) и (АЕ)……Page 327
Лемма (об основном свойстве исчерпывающей системы компактных множеств)……Page 329
Определение (К) несобственного интеграла……Page 330
Теорема (достаточное условие существования несобственного интеграла Римана в смысле определения (К))……Page 331
Теорема (об эквивалентности определений (АЕ) и (К))……Page 333
Теорема (достаточный признак существования интеграла Римана на ограниченном открытом множестве)……Page 337
Лемма (об интегрируемости по Риману композиции двух функций)……Page 340
Теорема (о замене переменной в одномерном (несобственном) интеграле Римана, определенном на открытом множестве)……Page 341
1-я теорема (о замене переменных в кратном интеграле Римана для финитной непрерывной функции)……Page 343
2-я теорема (о замене переменных в кратном несобственном интеграле Римана для непрерывной функции)……Page 351
Теорема (о пеоеходе к полярным координатам в двойном интеграле Римана)……Page 353
Теорема (признак сходимости несобственного двойного интеграла Римана в неограниченной области)……Page 355
Теорема (вычисление значения интеграла Пуассона)……Page 356
Теорема (о переходе к сферическим координатам в тройном интеграле Римана)……Page 358
Теорема (признак абсолютной сходимости несобственного тройного интеграла Римана от неограниченной функции)……Page 359
3-я теорема (о диффеоморфной замене переменных в несобственном кратном интеграле Римана)……Page 360
4-я теорема (о непрерывно дифференцируемой замене переменной в несобственном кратном интеграле Римана)……Page 363
Теорема (об инвариантности интеграла Римана относительно движения)……Page 368
Замечание (о геометрическом смысле якобиана)……Page 369
Пример вычисления $n$-объема $n$-мерного шара……Page 370
Определение ориентации линейного пространства……Page 372
Определение $k$-пути в $mathbb{R}^n$……Page 373
Определение допустимого преобразования параметра……Page 374
Определение эквивалентности $k$-путей в $mathbb{R}^n$……Page 375
Определение $k$-поверхности в $mathbb{R}^n$……Page 376
Определение касательного векторного (аффинного) пространства для $k$-пути в $mathbb{R}^n$……Page 377
Теорема (о касательных пространствах для эквивалентных и противоположных $k$-путей в $mathbb{R}^n$)……Page 378
§ 2. Дифференциальные формы степени $0$ и $1$ в $mathbb{R}^n$……Page 380
Определение прообраза дифференциальной 1-формы……Page 381
Определение криволинейного интеграла 2-го рода от дифференциальной 1-формы по 1-пути в $mathbb{R}^n$……Page 382
Определение криволинейного интеграла 2-го рода от 1-формы по кусочно-гладкому 1-пути в $mathbb{R}^n$……Page 383
Определение криволинейного интеграла 1-го рода от 0-формы по 1-пути в $mathbb{R}^n$……Page 385
Связь между криволинейными интегралами 2-го и 1-го рода……Page 386
Теорема 1 (об инвариантности криволинейного интеграла 2-го рода относительно допустимой замены параметра)……Page 387
Теорема 2 (о линейности криволинейного интеграла 2-го рода)……Page 388
Теорема 4 (об ориентирован«ости криволинейного интеграла 2-го рода)……Page 389
Теорема 5 (об оценках для криволинейных интегралов 2-го рода)……Page 390
Определение цикла, гомотопного точке……Page 391
Определение односвязной области в $mathbb{R}^n$……Page 392
§ 4. Формула Грина в $mathbb{R}^2$……Page 393
Теорема (о локальном строении кусочно-гладкой кривой Жордана вблизи регулярной точки)……Page 394
Определение компакта с кусочно-гладким краем в $mathbb{R}^2$……Page 396
Замечание (об ориентации края плоского компакта)……Page 397
Определение плоского компакта, простого относительно координатной оси……Page 398
1-я (предварительная) теорема Грина на плоскости……Page 400
Теорема (о замкнутости точной 1-формы)……Page 403
Теорема (об интеграле от точной 1-формы)……Page 404
Теорема (критерий точности 1-формы в области «з Rn)……Page 405
Теорема (критерий замкнутости 1-формы в односвязной плоской области)……Page 407
Пример замкнутой 1-формы, не являющейся точной в неодносвязной плоской области……Page 408
§ 1. Дифференциальные формы степени р (1leq рleq n) в $mathbb{R}^n$……Page 410
Теорема (об общем виде $p$-формы)……Page 411
Определение прообраза дифференциальной $p$-формы……Page 414
Правило вычисления прообраза дифференциальной $p$-формы……Page 416
Теорема (о свойствах отображения $phi^ast$)……Page 417
Определение внешнего дифференциала (кограницы) дифференциальной $p$-формы……Page 420
Теорема (о свойствах внешнего дифференциала)……Page 422
1-я теорема (о перестановочности операций $phi^ast$ и взятия кограницы)……Page 424
2-я теорема (о перестановочности операций $phi^ast$ и ввятия кограницы)……Page 425
§ 2. Интегрирование дифференциальных $k$-форм на $k$-пути в $mathbb{R}^n$……Page 426
Определение поверхностного интеграла 2-го рода от 2-формы по 2-пути в $mathbb{R}^3$……Page 427
Определение специального прямоугольника……Page 428
Доказательство (I этап) 2-й теоремы Грина для гладкого края……Page 429
Доказательство (II этап) 2-й теоремы Грина для края, имеющего угловые точки……Page 433
Определение $k$-объема $k$-пути в $mathbb{R}^n$……Page 437
Определение площади 2-пути в $mathbb{R}^3$……Page 439
Замечание (сапог Шварца)……Page 441
Вычисление $(п—1)$-объема $(п—1)$-мерной сферы……Page 442
Теорема (достаточное условие абсолютной сходимости несобственного я-кратного интеграла Римана от непрерывной функции по неограниченной области)……Page 445
Замечание (о связи между поверхностными интегралами 2-го и 1-го рода по 2-пути в $mathbb{R}^3$)……Page 446
Теорема 1 (об инвариантности интеграла относительно допустимой замены переменных)……Page 448
Теорема 3 (об ориентированности интеграла от $k$-формы по $k$-пути в $mathbb{R}^n$……Page 449
Теорема 4 (об инвариантности $k$-объема $k$-пути в $mathbb{R}^n$)……Page 450
Теорема 5 (об оценке интеграла от $k$-формы по $k$-пути в $mathbb{R}^n$)……Page 451
Теорема 6 (о переходе к пределу под знаком интеграла от $k$-формы по $k$-поверхности)……Page 452
Теорема о ранге……Page 453
Определение й-мерного дифференцируемого многообразия в точке……Page 456
Определение компакта из $mathbb{R}^3$, простого относительно координатной оси……Page 457
Теорема Гаусса—Остроградского в $mathbb{R}^3$ (для цилиндроида, простого относительно каждой из осей координат)……Page 459
Замечание (о формуле Гаусса—Остроградского для компакта с кусочно-гладким краем в $mathbb{R}^3$)……Page 462
Определение компакта с гладким краем в $mathbb{R}^3$……Page 465
Теорема Гаусса—Остроградского (для компакта с гладким краем в $mathbb{R}^n$)……Page 466
§ 4. Формула Стокса в $mathbb{R}^3$……Page 467
Определение гладкого куска с краем в $mathbb{R}^3$……Page 468
Определение ориентированной кусочно-гладкой поверхности в $mathbb{R}^3$……Page 471
Теорема Стокса в $mathbb{R}^3$ для ориентированного гладкого куска с краем……Page 472
Замечание (об ослабленных условиях гладкости для 1-формы в теореме Стокса в $mathbb{R}^3$……Page 474
§ 5. Интегральные формулы векторного анализа в $mathbb{R}^3$……Page 475
Соответствия между дифференциальными 2-формами и векторными полями в $mathbb{R}^3$……Page 476
Инвариантное определение градиента……Page 477
Определение дивергенции……Page 478
Теорема (о свойствах градиента, дивергенции, ротора, лапласиана)……Page 479
Определение потенциального векторного поля……Page 481
Поле ньютоновского притяжения……Page 482
Определение компакта с кусочно-гладким краем……Page 483
Определение $p$-регулярной точки для кусочно-гладкой 1-поверхности в $mathbb{R}^3$……Page 484
Определение двусторонней кусочно-гладкой поверхности регулярной относительно координатной оси в $mathbb{R}^3$……Page 486
Определение $p$-регулярной точки для кусочно-гладкого края $partial К$……Page 487
Определение компакта с кусочно-гладким краем, регулярного относительно координатной оси в $mathbb{R}^3$……Page 488
1-я (предварительная) теорема Гаусса—Остроградского в $mathbb{R}^3$……Page 489
2-я (основная) теорема Гаусса—Остроградского в $mathbb{R}^n$……Page 496
Замечание (о записи формулы Гаусса—Остроградского в векторной форме)……Page 498
Инвариантное определение дивергенции векторного поля……Page 499
Вывод уравнения теплопроводности……Page 500
Теорема (о физической интерпретации формул векторного анализа)……Page 503
Замечание (об инвариантном определении ротора векторного поля)……Page 504
Теорема (формулы Грина)……Page 506
Следствие 1 (теорема единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа)……Page 507
Следствие 3 (теорема о среднем для гармонической функции)……Page 508
Следствие 4 (теорема о принципе максимума для гармонической функции)……Page 512
§ 6. Вычисление градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в сферических координатах……Page 513
Представление градиента в сферических координатах……Page 515
Представление дивергенции векторного поля в сферических координатах……Page 521
Замечание (о вычислении градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в триортогональной системе криволинейных координат)……Page 522
Представление градиента в криволинейной триортогональной системе координат……Page 523
Представление лапласиана в криволинейной триортогональной системе координат……Page 526
§ 7. Теорема Гаусса—Остроградского в $mathbb{R}^n$……Page 529
Замечание (об ориентации края компакта в $mathbb{R}^n$)……Page 532
Определение интеграла от #(п—1)#-формы на ориентированном крае компакта в R^……Page 533
Теорема Гаусса—Остроградского для компакта с гладким краем в $mathbb{R}^n$……Page 534
Определение $k$-специального параллелепипеда в $mathbb{R}^n$)……Page 535
Лемма (о существовании $k$-специального параллелепипеда……Page 537
§ 8. Интегрирование $k$-форм на $k$-мерных дифференцируемых ориентируемых многообразиях в $mathbb{R}^n$……Page 546
Определение $s$-мерного подмногообразия $k$-мерного многообразия, вложенного в $mathbb{R}^n$……Page 549
Замечание (о корректности определения интеграла от $k$-формы по $k$-мерному дифференцируемому многообразию, вложенному в $mathbb{R}^n$)……Page 554
Пример интегрирования $(n—1)$-формы по $(n—1)$-мерной сфере в $mathbb{R}^n$……Page 555
Определение поверхностного интеграла 1-го рода от функции по неориентированному $k$-мерному дифференцируемому многообразию, вложенному в $mathbb{R}^n$……Page 558
Теорема (об оценках интегралов от $k$-форм по $k$-мерным многообразиям)……Page 559
Следствие (из теоремы о ранге)……Page 560
Теорема (о преобразовании интеграла с помощью диффеоморфизма)……Page 562
§ 9. Общая теорема Стокса для $k$-мерного компакта с краем в $mathbb{R}^n$……Page 564
Определение $k$-мерного компакта с краем в $mathbb{R}^n$……Page 565
Определение ориентации края $k$-мерного компакта в $mathbb{R}^n$……Page 567
Теорема Стокса (для $k$-мерного компакта с краем в $mathbb{R}^n$……Page 569
Следствие (теорема Стокса для 2-мерного компакта с гладким краем в $mathbb{R}^n$)……Page 574
Теорема (об абсолютной сходимости несобственного интеграла Римана)……Page 575
Теорема (о достаточном условии существования интеграла Римана—Стильтьеса)……Page 579
Теорема (о линейности по $f$ интеграла Римана—Стильтьеса)……Page 580
Теорема (о конечной аддитивности интеграла Римана—Стильтьеса)……Page 581
Теорема (о замене переменной в интеграле Римана—Стильтьеса)……Page 583
Определение криволинейного интеграла 2-го рода от 1-форм по спрямляемым 1-путям……Page 585
Теорема 1 (об инвариантности криволинейного интеграла 2-го рода относительно допустимой замены параметра)……Page 586
Теорема 4 (об ориентированности криволинейного интеграла 2-го рода)……Page 587
Теорема 6 (о независимости специального криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования)……Page 588
Точная теорема Грина на плоскости (формулировка)……Page 589
Лемма 1 (о свойствах числовой непрерывной функции с ограниченным изменением)……Page 590
Лемма 2 (о равномерном приближении непрерывной функции с ограниченным изменением)……Page 592
Лемма 3 (о свойствах индикатрис Банаха $N$ и $N_n$)……Page 596
Теорема Банаха……Page 600
Лемма 4……Page 601
Лемма 5 (о спрямляемых 1-путях)……Page 602
Теорема Привалова (о спрямляемом контуре)……Page 603
Замечание Позняка (к теореме Привалова)……Page 604
Доказательство точной теоремы Грина на плоскости……Page 605
Замечание 1 (о доказательстве 2-й основной теоремы Грина на плоскости из ч. VI, гл. 2, § 2)……Page 610
ЛИТЕРАТУРА……Page 624
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ……Page 625
Обложка……Page 626