Высшая математика в упражнениях и задачах

Данко П., Попов А., Кожевникова Т.

Издание 4-е, исправленное и дополненное.

---

Table of contents :

Содержание II части охватывает следующие разделы программы: кратные и криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию функций комплексного переменного, операционное исчисление, методы вычислений, основы вариационного исчисления. В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы.
Часть I.
Предисловие к четвертому изданию.
Из предисловий к первому, второму и третьему изданиям.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Прямоугольные и полярные координаты.
Прямая.
Кривые второго порядка.
Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка.
Определители второго и третьего порядков и системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
Элементы векторной алгебры.
Прямоугольные координаты в пространстве.
Векторы и простейшие действия над ними.
Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение.
Аналитическая геометрия в пространстве.
Плоскость и прямая.
Поверхности второго порядка.
Определители и матрицы.
Понятие об определителе n-го порядка.
Линейные преобразования и матрицы.
Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы.
Исследование системы т линейных уравнений с n неизвестными.
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Применение метода Жордана — Гаусса к решению систем линейных уравнений.
Основы линейной алгебры.
Линейные пространства.
Преобразование координат при переходе к новому базису.
Подпространства.
Линейные преобразования.
Евклидово пространство.
Ортогональный базис и ортогональные преобразования.
Квадратичные формы.
Введение в анализ.
Абсолютная и относительная погрешности.
Функция одной независимой переменной.
Построение графиков функций.
Пределы.
Сравнение бесконечно малых.
Непрерывность функции.
Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной.
Производная и дифференциал.
Исследование функций.
Кривизна плоской линии.
Порядок касания плоских кривых.
Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная.
Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизна и кручение.
Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных.
Область определения функции. Линии и поверхности уровня.
Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Экстремум функции двух независимых переменных.
Неопределенный интеграл.
Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование простейших иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование разных функций.
Определенный интеграл.
Вычисление определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Вычисление площади плоской фигуры.
Вычисление длины дуги плоской кривой.

Вычисление площади поверхности вращения.
Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур.
Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена.
Вычисление работы и давления.
Некоторые сведения о гиперболических функциях.
Элементы линейного программирования.
Линейные неравенства и область решений системы линейных неравенств.
Основная задача линейного программирования.
Симплекс-метод.
Двойственные задачи.
Транспортная задача.
Часть II.
Двойные и тройные интегралы.
Двойной интеграл в прямоугольных координатах.
Замена переменных в двойном интеграле.
Вычисление площади плоской фигуры.

Вычисление площади поверхности.
Физические приложения двойного интеграла.
Тройной интеграл.
Приложения тройного интеграла.
Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла.
Гамма-функция. Бета-функция.
Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности.
Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам.
Независимость криволинейного интеграла Ii рода от контура интегрирования. Нахождение функции по ее полному дифференциалу.
Формула Грина.
Вычисление площади.
Поверхностные интегралы.
Формулы Стокса и Остроградского — Гаусса. Элементы теории поля.
Ряды.
Числовые ряды.
Функциональные ряды.
Степенные ряды.
Разложение функций в степенные ряды.
Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов.
Применение степенных рядов к вычислению пределов и определенных интегралов.
Комплексные числа и ряды с комплексными числами.
Ряд Фурье.
Интеграл Фурье.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейные уравнения высших порядков.
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Системы дифференциальных уравнений.
Элементы теории вероятностей.
Случайное событие, его частота и вероятность. Геометрическая вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.
Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события.
Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Случайная величина и закон ее распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Мода и медиана.
Равномерное распределение.
Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона.
Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности.
Нормальный закон распределения. Функция Лапласа.
Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины.
Закон больших чисел.
Теорема Муавра—Лапласа.
Системы случайных величин.
Линии регрессии. Корреляция.
Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных.
Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных.
Понятие об уравнениях в частных производных.
Дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных.
Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду.
Уравнение колебания струны.
Уравнение теплопроводности.
Задача Дирихле для круга.
Элементы теории функций комплексного переменного.
Функции комплексного переменного.
Производная функции комплексного переменного.
Понятие о конформном отображении.
Интеграл от функции комплексного переменного.
Ряды Тейлора и Лорана.
Вычисление вычетов функций. Применение вычетов к вычислению интегралов.
Элементы операционного исчисления.
Нахождение изображений функций.
Отыскание оригинала по изображению.
Свертка функций. Изображение производных и интеграла от оригинала.
Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений.
Общая формула обращения.
Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений математической физики.
Методы вычислений.
Приближенное решение уравнений.
Интерполирование.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Приближенное вычисление кратных интегралов.
Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов.
Численное интегрирование дифференциальных уравнений.
Метод Пикара последовательных приближений.
Простейшие способы обработки опытных данных.
Основы вариационного исчисления.
Понятие о функционале.
Понятие о вариации функционала.
Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
Функционалы, зависящие от производных высших порядков.
Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой переменной.
Функционалы, зависящие от функций двух независимых переменных.
Параметрическая форма вариационных задач.
Понятие о достаточных условиях экстремума функционала.