Лекции по линейной алгебре

Гельфанд И.М.

Table of contents :
Определение линейного пространства……Page 3
Число измерений (размерность) пространства……Page 6
Базис и координаты в n-мерном пространстве……Page 11
Изоморфизм n-мерных пространств……Page 15
Подпространства линейного пространства……Page 17
Разложение пространства R в прямую сумму подпространств……Page 19
Преобразование координат при изменении базиса……Page 24
Определение евклидова пространства……Page 26
Длина вектора. Угол междк векторами……Page 29
Неравенство Коши-Буняковского……Page 31
Ортогональный базис……Page 34
Перпендикуляр из точки на подпространство……Page 41
Изоморфизм евклидовых пространств……Page 47
Линейная функция……Page 51
Билинейные формы……Page 53
Матрица билинейной формы……Page 54
Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса……Page 56
Квадратичные формы……Page 58
5. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов……Page 60
6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием……Page 65
Определители Грама……Page 72
Закон инерции……Page 75
Ранг квадратичной формы……Page 78
Комплексное линейное пространство……Page 80
Комплексное евклидово пространство……Page 81
Билинейные м квадратичные формы……Page 83
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов……Page 88
Приведение эрмитовой квадратичной формы к сумме квадратов треугольным преобразованием……Page 89
Закон инерции……Page 90
Основные определения……Page 91
Связь между матрицами и линейными преобразованиями……Page 93
Сложение и умножение линейных преобразований……Page 97
Обратное преобразование. Ядро и образ преобразования……Page 102
Связь между матрицами линейного преобразования в различных базисах……Page 106
Линейное преобразование одного пространства в другое……Page 107
Инвариантные пространства……Page 108
Собственные векторы и собственные значения……Page 110
Связь между преобразованиями и билинейными формами в евклидовом пространстве……Page 120
Операция сопряжения……Page 123
Самосопряженные, унитарные и нормальные линейные преобразования……Page 125
Самосопряженные преобразования……Page 128
Приведение к главным осям……Page 131
13. Унитарные преобразования……Page 134
Перестановочные преобразования……Page 139
Нормальные преобразования……Page 142
15. Разложение линейного преобразования в произведение унитарного и эрмитова……Page 144
16. Линейные преобразования в вещественном евклидовом пространстве……Page 148
Самосопряженные преобразования……Page 150
Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов……Page 153
Ортогональные преобразования……Page 154
17. Экстремальные свойства собственных значений……Page 161
18. Нормальная форма линейного преобразования……Page 167
Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования……Page 174
Выделение подпространства, в котором преобразование имеет одно собственное значение……Page 178
Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением……Page 182
20. Другое доказательство теоремы о приведении к нормальной форме……Page 186
21. Инвариантные множители……Page 192
22. L-матрицы……Page 200
Определение сопряженного пространства……Page 217
Биортогональные (взаимные) базисы……Page 218
Взаимозаменяемость……Page 222
Преобразования координат……Page 223
Пространство, сопряженное к евклидову……Page 225
Полилинейные функции……Page 227
Выражения для полилинейной функции в данной системе координат. Переход от одной системы координат к другой……Page 229
Определение тензора……Page 231
Тензоры в евклидовом пространстве……Page 234
Операции над тензорами……Page 236
Симметрические и антисимметрические тензоры……Page 240
Тензорное произведение……Page 244
Связь между билинейными формами и линейными функциями……Page 247
Размерность тензорного произведения……Page 248
Связь между тензорами и элементами тензорных произведений……Page 249
Тензорное произведение линейных преобразований……Page 251
Понятие функтора……Page 253
Симметрическая и внешняя степени……Page 254
Внешняя степень……Page 257
Тензорное произведение евклидовых пространств……Page 258
1. Случай некратных собственных значений……Page 260
2. Случай кратных собственных значений……Page 265