Задачи по планиметрии: учебное пособие

Прасолов В.В.5-94057-214-6

Table of contents :
Предисловие……Page 10
Глава 1. Подобные треугольники……Page 11
Отрезки, заключённые между параллельными прямыми……Page 12
Отношение сторон подобных треугольников……Page 13
Отношение площадей подобных треугольников……Page 15
Вспомогательные равные треугольники……Page 16
Треугольник, образованный основаниями высот……Page 17
Задачи для самостоятельного решения……Page 18
Решения……Page 20
Глава 2. Вписанный угол……Page 30
Углы, опирающиеся на равные дуги……Page 31
Величина угла между двумя хордами……Page 32
Угол между касательной и хордой……Page 33
Связь величины угла с длиной дуги и хорды……Page 34
Четыре точки, лежащие на одной окружности……Page 35
Вписанный угол и подобные треугольники……Page 36
Биссектриса делит дугу пополам……Page 37
Вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями……Page 38
Три описанные окружности пересекаются в одной точке……Page 39
Разные задачи……Page 40
Задачи для самостоятельного решения……Page 41
Решения……Page 42
Глава 3. Окружности……Page 55
Касательные к окружностям……Page 56
Произведение длин отрезков хорд……Page 57
Касающиеся окружности……Page 58
Две касательные, проведённые из одной точки……Page 59
Применение теоремы о высотах треугольника……Page 60
Окружности, вписанные в сегмент……Page 61
Разные задачи……Page 62
Радикальная ось……Page 63
Пучки окружностей……Page 65
Решения……Page 66
Медиана делит площадь пополам……Page 81
Вычисление площадей……Page 82
Площади частей, на которые разбит четырёхугольник……Page 83
Разные задачи……Page 84
Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части……Page 85
Формулы для площади четырёхугольника……Page 86
Вспомогательная площадь……Page 87
Перегруппировка площадей……Page 88
Задачи для самостоятельного решения……Page 89
Решения……Page 90
Глава 5. Треугольники……Page 101
Вписанная и описанная окружности……Page 102
Прямоугольные треугольники……Page 103
Правильный треугольник……Page 104
Треугольник с углом 60° или 120°……Page 105
Разные задачи……Page 106
Теорема Менелая……Page 109
Теорема Чевы……Page 111
Прямая Симсона……Page 113
Подерный треугольник……Page 115
Прямая Эйлера и окружность девяти точек……Page 116
Точки Брокара……Page 117
Точка Лемуана……Page 119
Решения……Page 121
Вписанные и описанные четырёхугольники……Page 151
Четырёхугольники……Page 154
Теорема Птолемея……Page 155
Пятиугольники……Page 156
Правильные многоугольники……Page 157
Вписанные и описанные многоугольники……Page 160
Теорема Паскаля……Page 161
Задачи для самостоятельного решения……Page 162
Решения……Page 163
ГМТ – прямая или отрезок……Page 183
ГМТ – окружность или дуга окружности……Page 184
Вписанный угол……Page 185
Метод ГМТ……Page 186
Теорема Карно……Page 187
Задачи для самостоятельного решения……Page 188
Решения……Page 189
Метод геометрических мест точек……Page 197
Построение треугольников по различным элементам……Page 198
Треугольник……Page 199
Четырёхугольники……Page 200
Окружность Аполлония……Page 201
Построения одной линейкой……Page 202
Построения с помощью двусторонней линейки……Page 203
Построения с помощью прямого угла……Page 204
Решения……Page 205
Глава 9. Геометрические неравенства……Page 221
Алгебраические задачи на неравенство треугольника……Page 222
Разные задачи на неравенство треугольника……Page 223
Неравенства для площадей……Page 224
Площадь. Одна фигура лежит внутри другой……Page 226
Четырёхугольник……Page 227
Многоугольники……Page 228
Разные задачи……Page 229
Приложение. Некоторые неравенства……Page 230
Решения……Page 232
Высоты……Page 253
Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей……Page 254
Неравенства для углов треугольника……Page 255
Против большей стороны лежит больший угол……Page 256
Неравенства для прямоугольных треугольников……Page 257
Неравенства в треугольниках……Page 258
Задачи для самостоятельного решения……Page 259
Решения……Page 260
Треугольник……Page 273
Экстремальные точки треугольника……Page 274
Угол……Page 275
Многоугольники……Page 276
Экстремальные свойства правильных многоугольников……Page 277
Решения……Page 278
Теорема синусов……Page 289
Теорема косинусов……Page 290
Длины сторон, высоты, биссектрисы……Page 291
Тангенсы и котангенсы углов треугольника……Page 292
Вычисление углов……Page 293
Окружности……Page 294
Метод координат……Page 295
Задачи для самостоятельного решения……Page 296
Решения……Page 297
Глава 13. Векторы……Page 308
Векторы сторон многоугольников……Page 309
Неравенства……Page 310
Суммы векторов……Page 311
Метод усреднения……Page 312
Псевдоскалярное произведение……Page 313
Задачи для самостоятельного решения……Page 314
Решения……Page 315
Основные свойства центра масс……Page 325
Теорема о группировке масс……Page 326
Момент инерции……Page 327
Барицентрические координаты……Page 328
Трилинейные координаты……Page 331
Решения……Page 332
Перенос помогает решить задачу……Page 345
Построения и геометрические места точек……Page 346
Решения……Page 347
Глава 16. Центральная симметрия……Page 353
Свойства симметрии……Page 354
Симметрия в задачах на построение……Page 355
Решения……Page 356
Симметрия помогает решить задачу……Page 361
Построения……Page 362
Композиции симметрий……Page 363
Теорема Шаля……Page 364
Решения……Page 365
Глава 18. Поворот……Page 373
Поворот на 60°……Page 374
Повороты на произвольные углы……Page 376
Композиции поворотов……Page 377
Задачи для самостоятельного решения……Page 378
Решения……Page 379
Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия……Page 388
Гомотетичные окружности……Page 389
Построения и геометрические места точек……Page 390
Поворотная гомотетия……Page 391
Центр поворотной гомотетии……Page 393
Окружность подобия трёх фигур……Page 394
Решения……Page 396
Наименьший или наибольший угол……Page 407
Наименьшая или наибольшая площадь……Page 408
Выпуклая оболочка и опорные прямые……Page 409
Разные задачи……Page 410
Решения……Page 411
Конечное число точек, прямых и т.д…….Page 419
Углы и длины……Page 420
Площадь……Page 421
Решения……Page 422
Выпуклые многоугольники……Page 430
Изопериметрическое неравенство……Page 431
Симметризация по Штейнеру……Page 432
Теорема Хелли……Page 433
Невыпуклые многоугольники……Page 434
Решения……Page 435
Чёт и нечёт……Page 453
Инварианты……Page 454
Вспомогательные раскраски в шахматном порядке……Page 455
Другие вспомогательные раскраски……Page 456
Задачи о раскрасках……Page 457
Решения……Page 458
Формула Пика……Page 469
Вокруг теоремы Минковского……Page 470
Решения……Page 471
Равносоставленные фигуры……Page 479
Свойства частей, полученных при разрезаниях……Page 480
Плоскость, разрезанная прямыми……Page 481
Разные задачи на разрезания……Page 482
Покрытия……Page 483
Замощения костями домино и плитками……Page 484
Решения……Page 485
Системы точек……Page 506
Примеры и контрпримеры……Page 507
Решения……Page 508
Индукция……Page 513
Решения……Page 514
Глава 28. Инверсия……Page 517
Построение окружностей……Page 518
Построения одним циркулем……Page 519
Сделаем инверсию……Page 520
Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку……Page 521
Цепочки окружностей……Page 523
Решения……Page 524
Аффинные преобразования……Page 535
Решение задач при помощи аффинных преобразований……Page 537
Комплексные числа……Page 538
Решения……Page 542
Проективные преобразования прямой……Page 559
Проективные преобразования плоскости……Page 561
Переведём данную прямую на бесконечность……Page 564
Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность……Page 565
Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение……Page 567
Решения……Page 568
Классификация кривых второго порядка……Page 583
Эллипс……Page 584
Парабола……Page 586
Гипербола……Page 587
Пучки коник……Page 589
Коники как геометрические места точек……Page 590
Коники, связанные с треугольником……Page 591
Решения……Page 593
Дополнение……Page 611
Предметный указатель……Page 625
Программы элективных курсов по геометрии……Page 632