Математический анализ

Кудрявцев Л.Д.

Table of contents :
39.1 Формула Тейлора……Page 8
39.2. Формула конечных приращений……Page 15
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора……Page 16
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций……Page 19
40.1. Необходимые условия экстремума……Page 21
40.2. Достаточные условия строгого экстремума……Page 24
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением……Page 30
41.2. Произведения множеств……Page 35
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений……Page 36
41.4. Отображения. Свойства якобианов отображений……Page 42
41.5. Отображения с не равным нулю якобианом. Принцип сохранения области……Page 47
41.6. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности……Page 50
41.7. Замена переменных……Page 62
42.1. Необходимое условие зависимости функций……Page 65
42.2. Достаточные условия зависимости функций……Page 66
43.1. Понятие условного экстремума……Page 69
43.2. Метод множителей Лагранжа……Page 71
43.3. Замечания о достаточных условиях для точек условного экстремума……Page 74
44.1. Объем в n-мерном промтранстве. Множества меры нуль……Page 78
44.2. Квадрируемые и кубируемые множества……Page 85
44.3. Определение кратного интеграла……Page 86
44.4. Существование кратного интеграла……Page 89
44.5. Свойства кратного интеграла……Page 94
45.1. Основная теорема для двумерного случая……Page 97
45.2. Обобщения на n-мерный случай……Page 103
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае……Page 105
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле……Page 114
46.3. Криволинейные координаты……Page 121
46.4. Замена переменных в n-кратном интеграле……Page 123
47.1. Криволинейные интегралы первого рода……Page 124
47.2. Криволинейные интегралы второго рода……Page 127
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой……Page 132
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым……Page 133
47.5. Формула Грина……Page 134
47.6. Вычисления площадей с помощью криволинейных интегралов……Page 139
47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоских областей……Page 140
47.8. Криволинейные интегралы не зависящие от пути интегрирования……Page 143
48.1. Основные определения……Page 153
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций……Page 155
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак……Page 160
49.1. Вычисление площадей и объемов……Page 164
49.2. Физические приложения кратных интегралов……Page 166
50.1. Общие понятия……Page 167
50.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности……Page 173
50.3. Первая квадратичная форма поверхности……Page 178
50.4. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними……Page 179
50.5. Площадь поверхности……Page 180
50.6. Ориентация поверхности……Page 184
51.1. Определение и свойства……Page 192
51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм……Page 197
51.3. Поверхностные интегралы по поверхностям с коническими точками и по кусочно-гладким поверхностям……Page 198
52.1. Определения……Page 201
52.2. Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантное определение дивергенции……Page 206
52.3. Формула Стокса. Инвариантное определение вихря……Page 211
52.4. Соленоидальные векторные поля……Page 216
52.5. Потенциальные векторные поля……Page 217
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру……Page 220
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра……Page 223
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра……Page 225
54.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра……Page 229
54.3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов……Page 235
54.4. Эйлеровы интегралы……Page 240
54.5. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра……Page 246
55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач……Page 249
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю……Page 252
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации……Page 257
55.4. Сходимость рядов Фурье для кусочно дифференцируемых функций……Page 260
55.5. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических……Page 264
55.6. Приближение непрерывных функций многочленами……Page 267
55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней x……Page 269
55.8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля……Page 272
55.9. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье……Page 275
55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье……Page 281
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье……Page 283
56.2. Различные виды записи формулы Фурье. Преобразование Фурье……Page 288
56.3. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций……Page 293
56.4. Преобразование Фурье производных……Page 295
56.5. Свертка и преобразование Фурье……Page 296
56.6. Производная преобразования Фурье функции……Page 300
57.1. Метрические пространства……Page 301
57.2. Линейные пространства……Page 309
57.3. Нормированные пространства……Page 312
57.4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства……Page 320
57.5. Пространство L2……Page 327
58.1. Ортонормированные системы……Page 336
58.2. Ортогонализация систем……Page 340
58.3. Ряды Фурье……Page 342
58.4. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств……Page 349
58.5. Некоторые следствия для классических рядов Фурье и рядов Фурье по полиномам Лежандра……Page 356
58.6. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля……Page 360
59.1. Общие соображения……Page 370
59.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства……Page 373
59.3. Определение обобщенных функций. Пространства D и D’……Page 375
59.4. Дифференцирование обобщенных функций……Page 380
59.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S’……Page 383
59.6. Преобразование Фурье в пространстве S……Page 385
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций……Page 388
60.1. Вычисление значений функций……Page 395
60.2. Решение уравнений……Page 397
60.3. Интерполяция функций……Page 403
60.4. Квадратурные формулы……Page 405
60.5. Погрешность квадратурных формул……Page 409