Самарский А.А., Николаев Е.С.
Table of contents :
Титульный лист ……Page 1
Аннотация ……Page 2
ОГЛАВЛЕНИЕ ……Page 3
Предисловие ……Page 8
Введение ……Page 11
1. Сетки и сеточные функции ……Page 24
2. Разностные производные и некоторые разностные тождества ……Page 26
3. Сеточные и разностные уравнения ……Page 30
4. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений ……Page 33
1. Свойства решений однородного уравнения ……Page 37
2. Теоремы о решениях линейного уравнения ……Page 40
3. Метод вариации постоянных ……Page 41
4. Примеры ……Page 45
1. Характеристическое уравнение. Случай простых корней ……Page 48
2. Случай кратных корней ……Page 49
3. Примеры ……Page 52
1. Общее решение однородного уравнения ……Page 54
2. Полиномы Чебышева ……Page 57
3. Общее решение неоднородного уравнения ……Page 59
1. Первая краевая задача на собственные значения ……Page 63
2. Вторая краевая задача ……Page 65
3. Смешанная краевая задача ……Page 66
4. Периодическая краевая задача ……Page 68
1. Алгоритм метода ……Page 73
2. Метод встречных прогонок ……Page 76
3. Обоснование метода прогонки ……Page 78
4. Примеры применения метода прогонки ……Page 80
1. Потоковый вариант метода прогонки ……Page 84
2. Метод циклической прогонки ……Page 86
3. Метод прогонки для сложных систем ……Page 90
4. Метод немонотонной прогонки ……Page 93
1. Алгоритм монотонной прогонки ……Page 97
2. Обоснование метода ……Page 100
3. Вариант немонотонной прогонки ……Page 101
1. Системы векторных уравнений ……Page 103
2. Прогонка для трехточечных векторных уравнений ……Page 106
3. Прогонка для двухточечных векторных уравнений ……Page 109
4. Ортогональная прогонка для двухточечных векторных уравнений ……Page 112
5. Прогонка для трехточечных уравнений с постоянными коэффициентами ……Page 117
1. Постановка краевых задач ……Page 121
2. Первая краевая задача ……Page 123
3. Другие краевые задачи для разностных уравнений ……Page 125
4. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности ……Page 128
1. Процесс нечетно-четного исключения ……Page 130
2. Преобразование правой части и обращение матриц ……Page 133
3. Алгоритм метода ……Page 136
4. Второй алгоритм метода ……Page 139
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике ……Page 144
2. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности ……Page 146
1. Вторая краевая задача ……Page 149
2. Периодическая задача ……Page 154
3. Третья краевая задача ……Page 157
1. Постановка задачи ……Page 164
2. Разложение по синусам и сдвинутым синусам ……Page 168
3. Разложение по косинусам ……Page 175
4. Преобразование действительной периодической сеточной функции ……Page 178
5. Преобразование комплексной периодической сеточной функции ……Page 183
1. Разностные задачи на собственные значения для оператора Лапласа в прямоугольнике ……Page 185
2. Уравнение Пуассона в прямоугольнике. Разложение в двойной ряд ……Page 190
3. Разложение в однократный ряд ……Page 194
1. Комбинация методов Фурье и редукции ……Page 198
2. Решение краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике ……Page 205
3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности в прямоугольнике ……Page 208
1. Линейные пространства ……Page 212
2. Операторы в линейных нормированных пространствах ……Page 215
3. Операторы в гильбертовом пространстве ……Page 218
4. Функции от ограниченного оператора ……Page 223
5. Операторы в конечномерном пространстве ……Page 224
6. Разрешимость операторных уравнений ……Page 227
1. Примеры пространств сеточных функций ……Page 230
2. Некоторые разностные тождества ……Page 233
3. Границы простейших разностных операторов ……Page 235
4. Оценки снизу для некоторых разностных операторов ……Page 238
5. Оценки сверху для разностных операторов ……Page 246
6. Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных пространствах ……Page 247
7. Разностные схемы для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами ……Page 251
8. Уравнения с переменными коэффициентами и со смешанными производными ……Page 254
1. Метод установления ……Page 258
2. Итерационные схемы ……Page 259
3. Сходимость и число итераций ……Page 261
4. Классификация итерационных методов ……Page 263
1. Исходное семейство итерационных схем ……Page 266
2. Задача для погрешности ……Page 267
3. Самосопряженный случай ……Page 268
1. Построение набора итерационных параметров ……Page 269
2. О неулучшаемости априорной оценки ……Page 271
3. Примеры выбора оператора $D$ ……Page 272
4. О вычислительной устойчивости метода ……Page 275
5. Построение оптимальной последовательности итерационных параметров ……Page 280
1. Выбор итерационного параметра ……Page 284
2. Оценка нормы оператора перехода ……Page 285
1. Постановка задачи ……Page 287
2. Минимизация нормы оператора перехода ……Page 288
3. Минимизация нормы разрешающего оператора ……Page 293
4. Метод симметризации уравнения ……Page 297
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике ……Page 298
2. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области ……Page 301
3. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами ……Page 307
4. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения со смешанной производной ……Page 312
1. Исходное семейство итерационных схем ……Page 315
2. Оценка нормы погрешности ……Page 316
1. Формулы для итерационных параметров ……Page 318
2. Примеры выбора оператора $D$ ……Page 320
1. Выбор итерационных параметров ……Page 321
2. Оценка скорости сходимости ……Page 322
1. Постановка задачи ……Page 324
2. Оценки скорости сходимости методов ……Page 326
1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров ……Page 331
2. Формула для итерационных параметров ……Page 333
3. Оценка скорости сходимости ……Page 334
4. Неулучшаемость оценки в самосопряженном случае ……Page 336
5. Асимптотическое свойство градиентных методов в самосопряженном случае ……Page 338
1. Метод скорейшего спуска ……Page 340
2. Метод минимальных невязок ……Page 341
3. Метод минимальных поправок ……Page 343
5. Пример применения двухслойных методов ……Page 344
1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров. Оценка скорости сходимости ……Page 347
2. Формулы для итерационных параметров. Трехслойная итерационная схема ……Page 349
3. Варианты расчетных формул ……Page 354
1. Частные случаи методов сопряженных направлений ……Page 355
2. Локально оптимальные трехслойные методы ……Page 356
1. Алгоритм процесса ускорения ……Page 360
2. Оценка эффективности ……Page 361
3. Пример ……Page 363
1. Итерационная схема метода ……Page 366
2. Примеры применения метода ……Page 369
3. Достаточные условия сходимости ……Page 372
1. Итерационная схема. Достаточные условия сходимости ……Page 375
2. Постановка задачи о выборе итерационного параметра ……Page 376
3. Оценка спектрального радиуса ……Page 379
4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике ……Page 380
5. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами ……Page 385
1. Итерационная схема ……Page 387
2. Оценка скорости сходимости ……Page 389
3. Выбор итерационного параметра ……Page 390
4. Оценка скорости сходимости методов Зейделя и релаксации ……Page 391
1. Итерационная схема ……Page 395
2. Выбор итерационных параметров ……Page 397
3. Метод нахождения исходных величин $delta$ и $Delta$ ……Page 400
4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике ……Page 402
1. Задача Дирихле для уравнения с переменными коэффициентами ……Page 409
2. Модифицированный попеременно-треугольный метод ……Page 411
3. Сравнение вариантов метода ……Page 417
4. Третья краевая задача ……Page 418
5. Разностная задача Дирихле для уравнения со смешанными производными ……Page 421
1. Постановка разностной задачи ……Page 423
2. Построение попеременно-треугольного метода ……Page 425
3. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области ……Page 429
1. Итерационная схема метода ……Page 432
2. Постановка задачи о выборе параметров ……Page 434
3. Дробно-линейное преобразование ……Page 436
4. Оптимальный набор параметров ……Page 438
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике ……Page 440
2. Третья краевая задача для эллиптического уравнения с разделяющимися переменными ……Page 445
3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности ……Page 449
1. Случай неперестановочных операторов ……Page 453
2. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами ……Page 455
1. Итерационная схема. Задача выбора итерационных параметров ……Page 459
2. Преобразование оператора в самосопряженном случае ……Page 462
3. Итерационный метод с чебышевскими параметрами ……Page 464
4. Итерационные методы вариационного типа ……Page 468
5. Примеры ……Page 469
1. Метод простой итерации ……Page 471
2. Метод переменных направлений ……Page 475
1. Итерационные схемы в случае невырожденного оператора $B$ ……Page 478
2. Итерационный метод минимальных невязок ……Page 482
3. Метод с чебышевскими параметрами ……Page 485
1. Разностная задача Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольнике ……Page 489
2. Прямой метод для задачи Неймана ……Page 493
3. Итерационные схемы с вырожденным оператором $B$ ……Page 496
1. Метод простой итерации для уравнений с монотонным оператором ……Page 500
2. Итерационные методы для случая дифференцируемого оператора ……Page 503
3. Метод Ньютона—Канторовича ……Page 505
4. Двухступенчатые итерационные методы ……Page 509
5. Другие итерационные методы ……Page 512
1. Разностная схема для одномерного эллиптического квазилинейного уравнения ……Page 514
2. Метод простой итерации ……Page 522
3. Итерационные методы для разностных квазилинейных эллиптических уравнений в прямоугольнике ……Page 524
4. Итерационные методы для слабонелинейных уравнений ……Page 529
1. Принцип регуляризации в общей теории итерационных методов ……Page 532
2. Итерационные схемы с факторизованным оператором ……Page 536
3. Способ неявного обращения оператора $B$ (двухступенчатый метод) ……Page 540
1. Задача Дирихле для системы эллиптических уравнений в $p$-мерном параллелепипеде ……Page 542
2. Система уравнений теории упругости ……Page 547
1. Эллиптические уравнения в цилиндрической системе координат ……Page 550
2. Краевые задачи для уравнений в цилиндрической системе координат ……Page 553
1. Разностные схемы без смешанных производных в осесимметрическом случае ……Page 556
2. Прямые методы ……Page 560
3. Метод переменных направлений ……Page 561
4. Решение уравнений, заданных на поверхности цилиндра ……Page 565
1. Разностные схемы для уравнений в круге и кольце ……Page 569
2. Разрешимость разностных краевых задач ……Page 571
3. Принцип суперпозиции для задачи в круге ……Page 574
4. Прямые методы решения уравнений в круге и кольце ……Page 575
5. Метод переменных направлений ……Page 577
6. Решение разностных задач в кольцевом секторе ……Page 580
7. Общий случай переменных коэффициентов ……Page 582
Дополнение. Построение полинома, наименее уклоняющегося от нуля ……Page 585
Литература ……Page 590
Предметный указатель ……Page 591
Выходные данные ……Page 592
Reviews
There are no reviews yet.