Уравнения с частными производными

Рихард Курант

Table of contents :
Предисловие редактора перевода……Page 18
Предисловие к русскому изданию……Page 22
Предисловие……Page 24
I. Вводные замечания……Page 28
1. Примеры……Page 29
2. Дифференциальные уравнения заданных семейств функций……Page 34
1. Вопрос об эквивалентности системы дифференциальных уравнений……Page 37
2. Исключение неизвестных из линейной системы с постоянными коэффициентами……Page 40
3. Определенные, переопределенные, недоопределенные системы……Page 41
1. Разделение переменных……Page 43
2. Построение других решений посредством суперпозиции, фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона……Page 45
1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка……Page 47
2. Полный интеграл……Page 49
3. Особые интегралы……Page 50
4. Примеры……Page 51
1. Линейные дифференциальные уравнения……Page 53
2. Квазилинейные дифференциальные уравнения……Page 55
1. Преобразование Лежандра для функций двух переменных……Page 56
3. Применение преобразования Лежандра к дифференциальным уравнениям в частных производных……Page 59
1. Введение и примеры……Page 63
2. Сведение к системе квазилинейных дифференциальных уравнений……Page 67
3. Определение производных вдоль начального многообразия……Page 70
4. Доказательство существования решений аналитических дифференциальных уравнений……Page 71
4а. Замечание о линейных дифференциальных уравнениях……Page 76
5. Замечания о критических начальных данных. Характеристики……Page 77
Приложение 1. Дифференциальное уравнение Лапласа для опорной функции минимальной поверхности……Page 79
1. Эвристические соображения……Page 80
2. Условия эквивалентности системы двух уравнений в частных производных первого порядка и дифференциального уравнения второго……Page 81
1. Характеристические кривые……Page 84
2. Задача Коши……Page 86
3. Примеры……Page 88
§ 2. Квазилинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными……Page 91
1. Характеристические кривые и фокальные кривые. Конус Монжа……Page 97
2. Решение задачи Коши……Page 101
3. Характеристические кривые как элементы ветвления. Дополнительные замечания. Интегральный коноид. Каустики……Page 104
§ 4. Полный интеграл……Page 106
§ 5. Фокальные кривые и уравнение Монжа……Page 108
1. Дифференциальное уравнение световых лучей……Page 110
2. Уравнение F(ux,uy)=0……Page 113
3. Дифференциальное уравнение Клеро……Page 115
4. Дифференциальное уравнение трубчатых поверхностей……Page 116
5. Соотношение однородности……Page 117
§ 7. Общее дифференциальное уравнение с n независимыми переменными……Page 118
1. Построение огибающих и характеристические кривые……Page 124
2. Канонический вид характеристических дифференциальных уравнений……Page 126
3. Теория Гамильтона — Якоби……Page 128
4. Пример. Задача двух тел……Page 130
5. Пример. Геодезические на эллипсоиде……Page 131
§ 9. Теория Гамильтона — Якоби и вариационное исчисление……Page 133
1. Дифференциальное уравнение Эйлера в каноническом виде……Page 134
2. Геодезическое расстояние, или эйконал, и его производные. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби……Page 136
3. Однородные подинтегральные функции……Page 139
4. Поле экстремалей. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби……Page 141
6. Инвариантный интеграл Гильберта для представления эйконала……Page 145
7. Теорема Гамильтона и Якоби……Page 147
1. Каноническое преобразование……Page 148
2. Новое доказательство теоремы Гамильтона — Якоби……Page 149
3. Вариация постоянных. (Теория канонических возмущений)……Page 150
1. Замечания о дифференцировании в пространстве n измерений……Page 151
2. Задача Коши. Характеристические многообразия……Page 154
§ 2. Системы квазилинейных дифференциальных уравнений с одинаковой главной частью. Новое построение теории……Page 159
§ 3. Доказательство теоремы единственности Хаара……Page 164
Приложение 2……Page 166
§ 1. Канонический вид линейных и квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка с двумя независимыми переменными……Page 172
1. Эллиптический, гиперболический и параболический канонические виды. Смешанные типы……Page 173
2. Примеры……Page 178
3. Канонический вид квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными……Page 181
4. Пример. Минимальные поверхности……Page 184
5. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка……Page 186
1. Обозначения……Page 187
2. Системы первого порядка с двумя независимыми переменными. Характеристики……Page 188
3. Системы первого порядка с п независимыми переменными……Page 190
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Гиперболичность……Page 191
6. Примеры. Уравнения Максвелла и Дирака……Page 193
1. Канонический вид и классификация уравнений второго порядка……Page 197
2. Фундаментальные решения уравнений второго порядка……Page 200
3. Плоские волны……Page 203
4. Плоские волны (продолжение). Бегущие волны. Дисперсия……Page 205
5. Примеры. Телеграфное уравнение. Неискажающиеся волны в кабелях……Page 209
6. Цилиндрические и сферические волны……Page 210
§ 4. Задача Коши. Задача излучения для волнового уравнения……Page 213
1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Преобразование тета-функции……Page 214
2. Задача Коши для волнового уравнения……Page 217
3. Принцип Дюамеля. Неоднородные уравнения. Запаздывающие потенциалы……Page 218
4. Задача Коши для волнового уравнения в двумерном пространстве. Метод спуска……Page 221
5. Задача излучения……Page 223
6. Явления распространения и принцип Гюйгенса……Page 224
1. Метод Коши применения интеграла Фурье……Page 226
2. Пример……Page 228
3. Обоснование метода Коши……Page 231
1. Вводные замечания……Page 237
2. Основные принципы……Page 241
3. Замечания о «некорректно поставленных» задачах……Page 245
4. Общие замечания о линейных задачах……Page 246
§ 1. Лемма Соболева……Page 247
1. Матричные операторы……Page 249
2. Сопряженные дифференциальные операторы……Page 251
Приложение 2. Теорема единственности Гольмгрена……Page 252
1. Уравнения Лапласа и Пуассона и связанные с ними уравнения……Page 255
2. Потенциалы распределения масс……Page 260
3. Формула Грина и ее применения……Page 266
4. Производные потенциалов распределения масс……Page 272
1. Краевая задача и функция Грина……Page 275
2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для шара и полупространства……Page 278
3. Следствия формулы Пуассона……Page 282
1. Теорема о среднем значении для однородного и неоднородного уравнения……Page 289
2. Обращение теорем о среднем значении……Page 290
3. Уравнение Пуассона для потенциалов пространственных распределений……Page 297
4. Теоремы о среднем значении для других эллиптических уравнений……Page 299
1. Предварительные замечания. Непрерывная зависимость от граничных значений и от области……Page 303
2. Решение краевой задачи с помощью альтернирующего метода Шварца……Page 306
3. Метод интегральных уравнений для плоских областей с достаточно гладкой границей……Page 311
4. Замечания о граничных значениях……Page 315
4а. Емкость и выполнение граничных условий……Page 317
5. Метод субгармонических функций Перрона……Page 319
1. Предмет изложения……Page 325
2. Условие излучения Зоммерфельда……Page 326
3. Рассеяние……Page 330
1. Линейные дифференциальные уравнения……Page 332
2. Нелинейные уравнения……Page 334
3. Теорема Реллиха для дифференциального уравнения Монжа—Ампера……Page 335
4. Принцип максимума и его применения……Page 337
§ 7. Априорные оценки Шаудера и их приложения……Page 342
1. Оценки Шаудера……Page 343
2. Решение краевой задачи……Page 347
3. Сильные барьеры и их приложения……Page 352
4. Некоторые свойства решений уравнения L[u]=f……Page 355
5. Дальнейшие результаты, касающиеся эллиптических уравнений; поведение вблизи границы……Page 358
§ 8. Решение уравнений Бельтрами……Page 361
§ 9. Краевая задача для некоторого специального квазилинейного уравнения. Метод неподвижной точки Лере — Шаудера……Page 368
§ 10. Решение эллиптических дифференциальных уравнений с помощью интегральных уравнений……Page 373
1. Построение частных решений. Фундаментальные решения. Параметрикс……Page 374
Приложение. Нелинейные уравнения……Page 378
1. Теория возмущений……Page 379
2. Уравнение……Page 380
Дополнение. Теоретико-функциональная точка зрения на эллиптические дифференциальные уравнения с частными производн……Page 385
1. Определение псевдоаналитнческих функций……Page 386
2. Одно интегральное уравнение……Page 388
3. Принцип подобия……Page 389
4. Приложения принципа подобия……Page 393
5. Формальные степени……Page 396
6. Дифференцирование и интегрирование псевдоаналитических функций……Page 397
7. Пример. Уравнения смешанного типа……Page 400
8. Общее определение псевдоаналитических функций……Page 402
9. Квазиконформные отображения и общая теорема о представлении……Page 403
10. Одна нелинейная краевая задача……Page 406
11. Обобщение теоремы Римана об отображениях……Page 410
12. Две теоремы о минимальных поверхностях……Page 411
13. Уравнения с аналитическими коэффициентами……Page 412
14. Доказательство теоремы Привалова……Page 413
15. Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке……Page 414
Введение……Page 418
1. Основные понятия. Квазилинейные уравнения……Page 419
2. Характеристики на интегральных поверхностях……Page 425
3. Характеристики как линии разрыва. Фронт волны. Распространение разрывов……Page 427
4. Общие дифференциальные уравнения второго порядка……Page 430
5. Дифференциальные уравнения высших порядков……Page 432
7. Сведение к квазилинейным системам первого порядка……Page 434
1. Линейные, почти линейные и квазилинейные системы……Page 435
2. Случай k=2. Линеаризация с помощью преобразования годографа……Page 438
§ 3. Приложение к динамике сжимаемой жидкости……Page 439
1. Одномерное изэнтропическое течение……Page 440
2. Сферически симметричное течение……Page 442
3. Стационарное безвихревое течение……Page 443
4. Системы трех уравнений для неизэнтропического течения……Page 444
5. Линеаризованные уравнения……Page 446
1. Области зависимости, влияния и определенности……Page 448
2. Доказательство единственности для линейных дифференциальных уравнений второго порядка……Page 450
3. Общая теорема единственности для линейных систем первого порядка……Page 455
4. Единственность для квазилинейных систем……Page 458
§ 5. Представление решений в форме Римана……Page 459
2. Функция Римана……Page 460
3. Симметрия функции Римана……Page 464
4. Функция Римана и излучение из точки. Обобщение на задачи более высокого порядка……Page 465
5. Примеры……Page 466
1. Построение решения уравнения второго порядка……Page 471
2. Обозначения и результаты для линейных и почти линейных систем первого порядка……Page 473
3. Построение решения……Page 475
5. Смешанные начальные и граничные задачи……Page 480
§ 7. Задача Коши для квазилинейных систем……Page 485
Введение……Page 487
1. Сведение к характеристической системе первого порядка……Page 489
2. Представление оператора L[u] через характеристики……Page 490
3. Решение задачи Коши……Page 492
4. Другие варианты решения. Теорема П. Унгара……Page 493
1. Обобщенные решения. Слабые решения……Page 495
2. Разрывы в квазилинейных системах, выражающих законы сохранения. Ударные волны……Page 497
1. Квазилинейное дифференциальное уравнение……Page 500
§ 2. Исключительный характер уравнения Монжа-Ампера……Page 504
§ 3. Переход в комплексной области от эллиптического оператора к гиперболическому……Page 508
2. Аналитичность решения уравнения……Page 510
§ 5. Применение комплексных переменных для продолжения решений……Page 514
Приложение 2. Нестационарные задачи и операционное исчисление Хевисайда……Page 516
1. Пример явного решения. Волновое уравнение……Page 517
3. Интеграл Дюамеля……Page 520
4. Метод суперпозиции экспоненциальных решении……Page 523
1. Простейшие операторы……Page 526
2. Примеры операторов и приложения……Page 529
3. Приложение к уравнению теплопроводности……Page 533
4. Волновое уравнение……Page 535
5. Обоснование операторного исчисления……Page 536
1. Преобразование Лапласа……Page 543
2. Решение нестационарных задач с помощью преобразования Лапласа……Page 546
3. Пример. Волновое и телеграфное уравнения……Page 552
VI. Гиперболические уравнения со многими независимыми переменными……Page 557
1. Квазилинейные дифференциальные уравнения второго порядка……Page 558
2. Линейные дифференциальные уравнения……Page 563
3. Лучи или бихарактеристики……Page 564
4. Характеристика как фронт волны……Page 566
5. Инвариантность характеристик……Page 568
6. Конус лучей, конус нормалей, коноид лучей……Page 569
7. Связь с римановой метрикой……Page 571
8. Двойственные преобразования……Page 572
9. Построение фронта волны по Гюйгенсу……Page 575
§ 2. Уравнения второго порядка. Значение характеристик……Page 576
1. Разрывы второго порядка……Page 577
2. Дифференциальное уравнение на характеристической поверхности……Page 579
3. Распространение разрывов по лучам……Page 580
4. Пример. Решение задачи Коши для волнового уравнения с тремя пространственными переменными……Page 582
1. Обозначения……Page 584
2. Характеристические поверхности, формы и матрицы……Page 586
3. Интерпретация характеристического уравнения во времени и пространстве. Конус нормалей и поверхность нормалей. Характеристи……Page 588
4. Построение характеристических поверхностей или фронтов. Лучи, конус лучей, коноид лучей……Page 590
5. Фронты волны и построение Гюйгенса. Поверхность лучей и поверхность нормалей……Page 592
5а. Пример……Page 595
7. Гиперболичность. Многообразия пространственного типа, направления временного типа……Page 596
8. Симметрические гиперболические операторы……Page 600
9. Симметрические гиперболические уравнения высших порядков……Page 601
10. Кратные характеристические поверхности и приводимость……Page 603
11. Лемма о бихарактеристических направлениях……Page 604
1. Введение……Page 606
2. Система дифференциальных уравнений гидродинамики……Page 607
3. Кристаллооптика……Page 610
4. Форма поверхности нормалей и поверхности лучей……Page 612
5. Задача Коши для уравнений кристаллооптики……Page 616
6. Магнитная гидродинамика……Page 619
1. Введение……Page 624
2. Разрывы первых производных для систем первого порядка. Уравнение переноса……Page 625
3. Разрывы начальных значений. Введение обобщенных функций. Бегущие волны……Page 627
4. Распространение разрывов для систем первого порядка……Page 631
5. Характеристики постоянной кратности……Page 633
5а. Примеры распространения разрывов вдоль многообразий более чем одного измерения. Коническая рефракция……Page 634
6. Устранение начальных разрывов и решение задачи Коши……Page 635
7. Решение задачи Коши с помощью сходящегося разложения на волны……Page 638
8. Системы второго и высших порядков……Page 639
9. Дополнительные замечания. Слабые решения. Ударные волны……Page 641
1. Предварительные замечания. Бегущие волны высшего порядка……Page 642
2. Построение асимптотических решений……Page 643
3. Геометрическая оптика……Page 647
1. Волновое уравнение……Page 649
2. Дифференциальное уравнение Дарбу……Page 652
3. Уравнения Максвелла в вакууме……Page 653
1. Введение……Page 655
2. Описание области зависимости……Page 656
1. Интегралы энергии и единственность решения задачи Коши……Page 658
2. Интегралы энергии первого и высших порядков……Page 660
3. Энергетические неравенства для смешанных задач……Page 663
4. Интегралы энергии для одного уравнения второго порядка……Page 667
2. Энергетические тождества и неравенства для решений гиперболических уравнений высших порядков. Метод Лере и Гординга……Page 669
3. Другие методы……Page 673
1. Введение……Page 676
2. Теорема существования……Page 678
3. Замечания о сохранении свойств начальных значений и о соответствующих полугруппах. Малый принцип Гюйгенса……Page 680
4. Фокусирование. Пример несохранения дифференцируемости……Page 682
5. Замечания о квазилинейных системах……Page 683
6. Замечания о задачах высших порядков и о несимметрических системах……Page 684
1. Общие понятия. Обозначения……Page 685
2. Некоторые интегральные формулы. Разложение функций на плоские волны……Page 686
1. Задача Коши……Page 690
2. Построение решения для волнового уравнения……Page 692
3. Метод спуска……Page 695
4. Дальнейшее изучение решения. Принцип Гюйгенса……Page 697
5. Неоднородное уравнение. Интеграл Дюамеля……Page 700
6. Задача Коши для общего линейного уравнения второго порядка……Page 701
7. Задача излучения……Page 704
1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений……Page 707
2. Связь с волновым уравнением……Page 709
3. Задача излучения для волнового уравнения……Page 711
4. Обобщенные бегущие сферические волны……Page 712
§ 13а. Решение задачи Коши для уравнения упругих волн с помощью сферических средних……Page 714
§ 14. Метод плоских средних значений. Применение к общим гиперболическим уравнениям с постоянными коэффициентами……Page 718
1. Общий метод……Page 719
2. Применение к решению волнового уравнения……Page 723
1. Решение задачи Коши……Page 725
2. Дальнейшее исследование решения. Область зависимости. Лакуны……Page 730
1. Описание. Обозначения……Page 734
2. Построение функции излучения с помощью разложения d-функции……Page 737
3. Регулярность матрицы излучения……Page 740
3а. Обобщенный принцип Гюйгенса……Page 742
4. Пример. Системы с постоянными коэффициентами частного вида. Теорема о лакунах……Page 743
5. Пример. Волновое уравнение……Page 744
6. Пример. Теория Адамара для одного уравнения второго порядка……Page 747
1. Общая теорема Асгейрссона о среднем значении……Page 751
3. Применение к волновому уравнению……Page 755
4. Решение характеристической задачи Коши для волнового уравнения……Page 756
5. Другие приложения. Теорема о среднем значении для софокусных эллипсоидов……Page 758
1. Функции, определенные с помощью средних значений по сферам с центрами на некоторой плоскости……Page 760
2. Приложения к задаче Коши……Page 762
1. Неискажающиеся бегущие волны……Page 766
2. Сферические волны……Page 768
3. Излучение и принцип Гюйгенса……Page 770
1. Введение……Page 771
2. Идеальные элементы……Page 772
4. Повторное интегрирование……Page 774
5. Линейные функционалы и операторы. Билинейная форма……Page 775
6. Непрерывность функционалов. Носители основных функций……Page 776
8. Некоторые вспомогательные функции……Page 778
9. Примеры……Page 779
1. Введение……Page 780
2. Определение с помощью линейных дифференциальных операторов……Page 781
3. Определение с помощью слабых пределов……Page 783
4. Определение с помощью линейных функционалов……Page 784
5. Эквивалентность. Представление функционалов……Page 785
6. Некоторые выводы……Page 787
7. Пример. Дельта-функция……Page 788
8. Отождествление обобщенных и обыкновенных функций……Page 789
9. Определенные интегралы. Конечные части……Page 792
1. Линейные процессы……Page 795
3. Примеры. Преобразование дельта-функции……Page 796
4. Умножение и свертка обобщенных функций……Page 798
2. Различные пространства основных функций. Пространство s. Преобразования Фурье……Page 799
3. Периодические функции……Page 801
4. Обобщенные функции и гильбертовы пространства. Негативные нормы. Сильные определения……Page 803
5. Замечание о других классах обобщенных функций……Page 804
Библиография……Page 806
Предметный указатель……Page 13