Эллиптические кривые

Энтони В. Кнапп0-691-08559-5

An elliptic curve is a particular kind of cubic equation in two variables whose projective solutions form a group. Modular forms are analytic functions in the upper half plane with certain transformation laws and growth properties. The two subjects–elliptic curves and modular forms–come together in Eichler-Shimura theory, which constructs elliptic curves out of modular forms of a special kind. The converse, that all rational elliptic curves arise this way, is called the Taniyama-Weil Conjecture and is known to imply Fermat’s Last Theorem.
Elliptic curves and the modeular forms in the Eichler- Shimura theory both have associated L functions, and it is a consequence of the theory that the two kinds of L functions match. The theory covered by Anthony Knapp in this book is, therefore, a window into a broad expanse of mathematics–including class field theory, arithmetic algebraic geometry, and group representations–in which the concidence of L functions relates analysis and algebra in the most fundamental ways.
Developing, with many examples, the elementary theory of elliptic curves, the book goes on to the subject of modular forms and the first connections with elliptic curves. The last two chapters concern Eichler-Shimura theory, which establishes a much deeper relationship between the two subjects. No other book in print treats the basic theory of elliptic curves with only undergraduate mathematics, and no other explains Eichler-Shimura theory in such an accessible manner.

---

Table of contents :
Предисловие редактора перевода……Page 7
Предисловие……Page 9
Глава 1. Обзор……Page 13
§1. Проективное пространство……Page 32
§2. Кривые и касательные……Page 39
§3. Точки перегиба……Page 48
§4. Кубические кривые……Page 57
§5. Теорема Безу и результант……Page 62
§1. Примеры……Page 69
§2. Дискриминант и j-инвариант……Page 76
§3. Закон сложения точек неособой кубической кривой……Page 87
§4. Вычисления с помощью закона сложения……Page 96
§5. Особые точки……Page 99
§1. Метод спуска……Page 103
§2. Условие делимости на 2……Page 108
§3. Конечность группы E(Q)/2E(Q), частный случай……Page 111
§4. Конечность группы E(Q)/2E(Q), общий случай……Page 116
§5. Высота и доказательство теоремы Морделла……Page 120
§6. Формула для ранга эллиптической кривой……Page 128
§7. Верхняя оценка для ранга……Page 133
§8. Построение рациональных точек на эллиптических кривых……Page 142
§9. Необходимые сведения из алгебраической теории чисел……Page 150
§1. Обзор……Page 159
§2. Редукция по модулю p……Page 164
§3. p-адическая фильтрация……Page 167
§4. Теорема Лутц-Нагеля……Page 175
§5. Эллиптическая кривая с заданной группой $E(Q)_{tors}$……Page 176
§6. Доказательства теорем 5.2 и 5.3……Page 179
§1. Обзор……Page 182
§2. Эллиптические функции……Page 183
§3. Функция Вейерштрасса……Page 185
§4. Закон сложения и отображение $phi: C/Lambda to E(C)$……Page 195
§5. Обращение эллиптических интегралов……Page 198
§6. Аналитическое продолжение……Page 199
§7. Риманова поверхность функции $sqrt{(z-a)(z-b)(z-с)}$……Page 204
§8. Эллиптический интеграл……Page 210
§9. Вычисление соответствия $Lambda leftrightarrow (g_2,g_3)$……Page 220
§1. Частный случай……Page 226
§2. Ряды Дирихле и эйлеровы произведения……Page 229
§3. Характеры конечных абелевых групп……Page 238
§4. Доказательство теоремы Дирихле……Page 240
§5. Аналитические свойства L-функции Дирихле……Page 246
§1. Обзор……Page 262
§2. Определения и примеры……Page 263
§3. Действие SL(2,Z) на H……Page 270
§4. Размерности пространств модулярных форм……Page 274
§5. L-функция параболической формы……Page 283
§6. Скалярное произведение Петерсона……Page 286
§7. Операторы Гекке……Page 287
§8. Операторы Гекке и скалярное произведение Петерсона……Page 295
§1. Конгруэнц-подгруппы……Page 302
§2. Модулярные и параболические формы……Page 308
§3. Примеры модулярных форм……Page 313
§4. L-функция параболической формы……Page 316
§5. Размерности пространств параболических форм……Page 320
§6. Операторы Гекке……Page 322
§7. Старые и новые формы……Page 333
§1. Уравнение Вейерштрасса в глобально минимальной форме……Page 342
§2. Дзета-функция и L-функция эллиптической кривой……Page 347
§3. Теорема Хассе……Page 349
§1. Введение……Page 356
§2. Риманова поверхность $X_0(N)$……Page 366
§3. Мероморфные дифференциалы……Page 368
§4. Свойства компактных римановых поверхностей……Page 373
§5. Операторы Гекке на целочисленных гомологиях……Page 377
§6. Модулярная функция $j(tau)$……Page 393
§7. Многообразия и кривые……Page 403
§8. Модель кривой $X_0(N)$……Page 414
§9. Абстрактные эллиптические кривые и изогении……Page 424
§10. Абелевы многообразия и якобианы……Page 435
§11. Эллиптические кривые, соответствующие элементам $S_2(Gamma_0(N))$……Page 442
§12. Сравнение L-функций……Page 453
§1. Основные гипотезы и связи между ними……Page 455
§2. Строгие кривые Вейля……Page 462
§3. Уравнения кривых Вейля……Page 466
§4. Гипотеза Таниямы-Вейля и последняя теорема Ферма……Page 469
Комментарий к списку литературы……Page 472
Список литературы……Page 478
Предметный указатель……Page 485