Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей

Дж. Гукенхеймер и Ф. Холмс5-93972-200-8

В этой книге рассматривается применение техники динамических систем и теорий бифуркаций к исследованию нелинейных колебаний. Используя работы Пуанкаре, авторы подробно останавливаются на геометрических и топологических свойствах решений дифференциальных уравнений и точечных отображений.
Этот труд снабжен многочисленными экспериментами, позволяющими глубже понять аналитическую природу дифференциальных уравнений.

---

Table of contents :
 
Введение: дифференциальные уравнения и динамические системы.
Существование и единственность решений.
Линейная система.
Потоки и инвариантные подпространства.
Нелинейная система.
Линейные и нелинейные отображения.
Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре и вынужденные колебания.
Асимптотическое поведение.
Отношения эквивалентности и структурная устойчивость.
Двумерные потоки.
Теорема Пейксото для двумерных потоков.
Введение в хаос: четыре примера.
Уравнение Ван дер Поля.
Уравнение Дуффинга.
Уравнения Лоренца.
Динамика подскакивающего мяча.
Локальные бифуркации.
Бифуркационные проблемы.
Центральные многообразия.
Нормальные формы.
Бифуркации положений равновесия коразмерности один.
Бифуркации отображений и периодических орбит коразмерности единица.
Усреднение и возмущения с геометрической точки зрения.
Усреднение и отображения Пуанкаре.
Примеры усреднения.
Усреднение и локальные бифуркации.
Усреднение, системы Гамильтона и глобальная динамика: предостерегающие замечания.
Метод Мельникова: возмущения плоских гомоклинических орбит.
Метод Мельникова: возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит.
Устойчивость субгармонических орбит.
Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и сохраняющие площадь отображения плоскости.
Гиперболические множества, символическая динамика и странные аттракторы.
Подкова Смейла: пример гиперболического предельного множества.
Инвариантные множества и гиперболичность.
Разбиения Маркова и символическая динамика.
Странные аттракторы и постулат устойчивости.
Структурно устойчивые аттракторы.
Одномерный признак существования странных аттракторов.
Геометрический аттрактор Лоренца.
Статистические свойства: размерность, энтропия и показатели Ляпунова.
Глобальные бифуркации.
Седловые соединения.
Числа вращений.
Бифуркации одномерных отображений.
Бифуркации Лоренца.
Гомоклинические орбиты в трехмерных потоках: пример Шильникова.
Гомоклинические бифуркации периодических орбит.
Дикие гиперболические множества.
Ренормализация и универсальность.
Локальные бифуркации потоков коразмерности два.
Вырождение в членах высшего порядка.
Замечание о /с-струях и определенности.
Двойное нулевое собственное значение.
Чисто мнимая пара и простое нулевое собственное значение.
Две пары чисто мнимых собственных значений в отсутствие резонанса.
Приложения к многомерным системам.