Analyse 1

Giroux A.

L’analyse mathématique est l’étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d’abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l’on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par la notion de limite d’une suite ou d’une série numérique et son application à la représentation décimale des nombres, en poursuivant avec la notion de fonction continue et l’étude de ses principales propriétés et en terminant par la définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s’agit d’un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d’un point de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.

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Table of contents :
INTRODUCTION……Page 4
Les axiomes de l’arithmétique……Page 5
La relation d’ordre……Page 8
L’axiome de la borne supérieure……Page 10
Exercices……Page 14
Raisonnements par récurrence……Page 16
Exposants rationnels……Page 19
Exercices……Page 22
Limite d’une suite……Page 25
L’infini en analyse……Page 30
Existence de la limite……Page 32
Exercices……Page 37
Convergence des séries numériques……Page 41
Développements décimaux……Page 45
Exercices……Page 50
La notion de continuité……Page 54
Polynômes……Page 57
Exercices……Page 61
Propriété des ensembles ouverts……Page 63
Propriété des valeurs intermédiaires……Page 64
Propriété des valeurs extrêmes……Page 66
Fonctions inverses……Page 68
Exercices……Page 69
La dérivée……Page 72
Calcul des dérivées……Page 74
Exercices……Page 78
Le théorème des accroissements finis……Page 81
Extremums relatifs et absolus……Page 82
La règle de L’Hospital……Page 86
La méthode de Newton……Page 89
Exercices……Page 91
La notion de convexité……Page 94
Fonctions dérivables convexes……Page 96
Exercices……Page 98