Несколько вероятностных задач физики и математики

Кац М.

Книга посвящена приложениям теории вероятностей к различным вопросам математического анализа и классической статистической физики. Диапазон лекций достаточно широк: здесь и дифференциальные уравнения в частных производных, и теория потенциала, и броуновское движение, и теория газов и многое другое. Отличительная черта книги Каца состоит в том, что читатель не найдет в ней систематического изложения рассматриваемых вопросов, педантически завершенных математических доказательств. Зато автор уделяет много внимания идейной стороне дела независимо от того, идет ли речь о математических построениях или о выяснении их физического смысла. Он стремится развить у читателя интуицию и подчеркивает, что сила интуитивных рассуждений подчас бывает удивительной. Если добавить еще, что книга написана в стиле непринужденной беседы, и что этот разговорный, `интимный` стиль полностью сохранен и при переводе, то станет ясным, что мы имеем дело с не совсем обычным явлением в математической литературе. Книгу Каца можно порекомендовать всем, кто, обладая достаточной подготовкой в области математики и физики, захочет прочитать поучительный обзор целого ряда математических и физических задач, решаемых методами теории вероятностей.

---

Table of contents :
Предисловие переводчиков……Page 5
Из предисловия к польскому изданию……Page 6
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ……Page 7
Классические парадоксы……Page 8
$H$-теорема……Page 9
Парадокс обратимости……Page 10
Теорема Лиувилля……Page 12
Теорема Пуанкаре о возвратах……Page 13
Простая модель с такими же трудностями……Page 18
Парадокс возврата……Page 21
Вероятностный анализ……Page 23
Объяснение парадоксов……Page 31
Другая модель, но более легкая……Page 33
Уравнение Лиувилля……Page 39
$M$-уравнение……Page 41
Два основных метода подхода……Page 43
Уравнение Больцмана для газов……Page 56
Статистический подход……Page 62
$M$-уравнение……Page 67
Более простая модель газа……Page 69
$M$-уравнение……Page 70
Суженные распределения……Page 72
Уравнение Больцмана……Page 74
Хаос, хаотичные распределения……Page 75
$H$-теорема……Page 78
Распределение Максвелла……Page 82
Класс хаотичных распределений……Page 85
Линейное уравнение Больцмана……Page 93
Линеаризованное уравнение Больцмана……Page 95
Метод Гильберта……Page 99
Связь с подходом, опирающимся на $M$-уравнение……Page 101
Стохастическая модель, связанная с телеграфным уравнением. Дискретное случайное блуждание……Page 103
Предельный случай……Page 108
Метод Монте-Карло……Page 109
Процесс Пуассона……Page 110
Решение телеграфного уравнения……Page 113
Соответствующие уравнения при большем числе измерений……Page 114
Асимптотическое поведение собственных значений оператора Лапласа……Page 120
Связь с уравнением диффузии……Page 122
Принцип неощущаемости границы для коротких промежутков времени……Page 123
Использование теоремы тауберова типа……Page 125
Уравнение Чепмена-Колмогорова……Page 128
Решения уравнения Чепмена-Колмогорова……Page 130
Мера Винера……Page 132
Один функционал, его распределение и связанное с ним диф.уравнение……Page 136
Стохастическая интерпретация……Page 138
Фундаментальное решение……Page 139
Собственные значения уравнения Шредингера……Page 144
Метод Монте-Карло……Page 150
Теория потенциала……Page 152
Среднее время, которое броуновская частица проводит в области $Omega$……Page 154
Различие между трехмерным пространством и плоскостью……Page 156
Распределение времени пребывания в $Omega$……Page 160
Связанное с задачей интегральное уравнение……Page 162
Вероятностное выражение для объемного потенциала……Page 166
Емкость……Page 171
Случай двух измерений……Page 173
Другие меры, опирающиеся на уравнение Чепмена-Колмогорова……Page 174