Интегральные уравнения

Забрейко П.П., и др.

Table of contents :
ОГЛАВЛЕНИЕ ……Page 3
Предисловие ……Page 11
ГЛАВА I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ……Page 13
1.1. Уравнение Фредгольма ……Page 14
1.3. Уравнения Вольтерра ……Page 18
2.1. Уравнения с разностными ядрами ……Page 20
2.3. Парное уравнение ……Page 21
2.4. Уравнения интегральных преобразований ……Page 22
2.5. Сингулярные уравнения ……Page 23
2.6. Нелинейные уравнения ……Page 24
3.1. Обращение интегральных преобразований ……Page 26
3.2. Формулы обращения для уравнений с разностными ядрами ……Page 28
3.4. Уравнение Абеля ……Page 31
3.5. Уравнения, ядра которых зависят от гипергеометрической функции ……Page 33
1.1. Основные понятия ……Page 36
1.2. Основные теоремы ……Page 41
2.1. Построение приближений. Ряд Неймана ……Page 43
2.2. Резольвента ядра ……Page 45
3.1. Уравнения с вырожденными ядрами ……Page 47
3.2. Общий случай ……Page 50
4.1. Резольвента Фредгольма ……Page 52
4.2. Свойства резольвенты ……Page 53
5.1. Ряды Фредгольма. Определитель и миноры Фредгольма ……Page 54
5.2. Выражение собственных функций ядра через миноры Фредгольма ……Page 56
6.1. Ограниченность интегрального оператора со слабой особенностью ……Page 57
6.2. Итерации ядра со слабой особенностью ……Page 58
7.2. Методы решения для случая фредгольмовских ядер ……Page 59
7.3. Методы решения для случая ядер со слабыми особенностями ……Page 60
8.1. Ортогональныз ядра ……Page 61
8.3. Канонические ядра ……Page 62
§ 9. О порядке роста собственных чисел ……Page 64
1.1. Симметричные ядра ……Page 66
1.3. Системы характеристических чисел и собственных функций ……Page 67
2.1. Теорема Гильберта—Шмидта ……Page 68
2.3. Резольвента симметричного ядра ……Page 69
2.4. Билинейный ряд для ядра и его итераций ……Page 70
§ 3. Классификация симметричных ядер ……Page 71
§ 4. Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций ……Page 72
§ 5. Ядра Шмидта и билинейный ряд для несимметричных ядер ……Page 73
6.1. Симметричные уравнения ……Page 74
6.2. Несимметричные уравнения ……Page 75
1.2. Рассматриваемые классы ядер ……Page 77
1.4. Сравнение позитивных собственных значений с другими собственными значениями ……Page 80
1.6. Стохастические ядра ……Page 81
1.7. Замечания ……Page 82
2.1. Существование положительного решения ……Page 83
3.1. Постановка задачи ……Page 84
3.2. Оценки сверху ……Page 85
3.3. Общий метод ……Page 86
3.4. Блочный метод ……Page 87
3.5. Дополнительные замечания ……Page 88
4.2. Осцилляционные матрицы ……Page 89
4.3. Колебания упругого континуума с дискретным распределением масс ……Page 90
4.4. Осцилляционные ядра ……Page 92
4.5. Малые колебания систем с бесконечным числом степеней свободы ……Page 93
ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ НЕПРЕРЫВНЫМИ И ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ……Page 95
1.1. Постановка задачи ……Page 96
1.2. Линейные интегральные операторы со значениями в пространстве $С$ ……Page 100
1.3. Общие свойства интегральных операторов в пространствах $L_p$ ……Page 101
1.4. $L$-характеристики линейных интегральных операторов ……Page 104
1.5. Линейные $U$-ограниченные операторы ……Page 105
1.6. Линейные $U$-коограниченные операторы ……Page 106
1.7. Признаки с двумя условиями ……Page 108
1.8. Один тонкий признак непрерывности и полной непрерывности ……Page 110
1.9. Частные классы интегральных операторов ……Page 111
2.1. Постановка задачи ……Page 114
2.2. Резольвента линейного оператора и спектр ……Page 116
2.3. Пространство ядер ……Page 117
2.4. Резольвента линейного интегрального оператора ……Page 119
2.5. Резольвента «улучшающих» операторов ……Page 120
2.7. Уравнения с итерированными ядрами ……Page 121
2.8. Союзные уравнения ……Page 123
2.9. Дополнительные замечания ……Page 124
3.2. Спектр вполне непрерывного оператора ……Page 125
3.3. Расщепление вполне непрерывного оператора ……Page 127
3.4. Спектр интегрального вполне непрерывного оператора ……Page 130
3.5. Теоремы Фредгольма ……Page 132
3.6. Резольвента вполне непрерывного оператора ……Page 133
3.8. Дополнительные замечания ……Page 134
4.1. Введение ……Page 135
4.3. Резольвента и спектр самосопряженного интегрального оператора ……Page 136
4.4. Операторы Гильберта—Шмидта ……Page 139
4.5. Операторы Мерсера ……Page 140
4.6. Самосопряженные операторы со значениями в банаховом пространстве ……Page 141
4.7. Положительно определенные самосопряженные операторы ……Page 143
4.8. Разложения Гильберта—Шмидта вполне непрерывных операторов ……Page 144
5.1. Полуупорядоченные пространства ……Page 146
5.2. Общие теоремы о положительных операторах ……Page 147
5.3. Оценки спектрального радиуса ……Page 148
5.5. Существование собственного вектора ……Page 149
5.7. Собственные значения сопряженного оператора ……Page 150
5.8. Операторы, оставляющие инвариантным миниэдральный конус ……Page 151
6.1. Постановка задачи ……Page 152
6.2. Основные теоремы ……Page 153
7.1. Постановка задачи ……Page 154
7.2. Уравнения в гильбертовом пространстве ……Page 155
7.3. Метод регуляризации ……Page 156
1.1. Сингулярный интеграл ……Page 159
1.2. Сингулярный интеграл Коши ……Page 162
1.3. Сингулярный интеграл Гильберта ……Page 163
2.2. О существовании сингулярного интеграла Коши ……Page 164
2.3. Предельные формулы ……Page 165
2.4. Формулы интегрирования по частям ……Page 166
2.5. Искажение удаляемой дуги ……Page 167
3.2. Инвариантные пространства ……Page 168
3.4. Дальнейшие теоремы об инвариантных пространствах ……Page 170
4.1. Формулы дифференцирования ……Page 171
4.2. Формулы интегрирования ……Page 172
5.1. Правая и левая регуляризация ……Page 173
5.2. Индекс оператора ……Page 174
6.1. Общий сингулярный оператор ……Page 176
6.2. Символ сингулярного оператора ……Page 177
6.3. Теорема Нетера ……Page 178
6.4. Сингулярное уравнение с ядром Гильберта ……Page 179
6.5. Дополнительные замечания ……Page 180
§ 7. Метод Карлемана для замкнутого контура ……Page 181
7.1. Сведение сингулярного уравненил к краевой задаче ……Page 182
7.2. Решение краевой задачи ……Page 183
8.1. Сингулярный оператор системы ……Page 190
8.3. Теоремы Нетера ……Page 191
9.1. Пример ……Page 195
9.2. Общий случай ……Page 197
9.3. Дополнительные замечания ……Page 200
10.1. Постановка задачи ……Page 202
10.2. Сведение к краевой задаче ……Page 203
10.3. Решение однородной задачи ……Page 204
10.4. Решение неоднородной задачи ……Page 205
11.1. Неограниченная регуляризация ……Page 206
11.2. Общее сингулярное уравнение ……Page 207
11.3. Системы сингулярных уравнений ……Page 208
12.1. Уравнение с невырождающимся символом ……Page 210
12.2. Уравнение с вырождающимся символом ……Page 211
1.1. Интегральные уравнения задач Дирихле и Неймана и их исследование в случае односвязной границы ……Page 213
1.2. Задача Робена ……Page 218
1.3. Внешняя задача Дирихле ……Page 219
1.4. Случай несвязной границы ……Page 220
1.5. Смешанная задача теории потенциала ……Page 222
1.7. Распространение на пространства многих измерений ……Page 223
2.1. Задача Дирихле для односвязной плоской области ……Page 225
2.2. Задача Дирихле для многосвлзных областей ……Page 227
2.3. Задача Неймана ……Page 230
2.4. Конформное отображение многосвязных областей ……Page 232
2.5. Функция Грина и ядро Шварца ……Page 233
3.1. Применение функции Грина. Постановка и исследование плоской задачи теории упругости ……Page 235
3.3. Применение интегралов типа Коши. Уравнения Н.И. Мусхелишвили ……Page 239
3.4. Уравнения Лауричелла—Шермана ……Page 240
3.5. Периодическая задача теории упругости ……Page 241
4.1. Интегральные уравнения задач теплопроводности ……Page 243
4.2. Исследование интегральных уравнений теплового потенциала и сходимость метода последовательных приближений ……Page 247
5.1. Общая формулировка и сходимость алгорифма в плоской задаче теории потенциала ……Page 248
5.2. Применение к трехмерным задачам ……Page 252
5.3. Применение к теории упругости ……Page 254
6.1. Задача Штурма—Лиувилля ……Page 256
6.2. Собственные колебания струны ……Page 257
6.3. Устойчивость сжатого стержня ……Page 259
6.4. Собственные колебания мембраны ……Page 260
6.5. Давление жесткого штампа на упругое полупространство ……Page 261
7.1. Смешанная задача теории потенциала ……Page 262
7.2. Смешанная задача для полуплоскости ……Page 264
7.3. Соприкасание двух упругих полуплоскостей ……Page 265
7.4. Давление жесткого штампа на упругую полуплоскость ……Page 266
7.5. Смешанная задача теории упругости ……Page 267
7.6. Задача об обтекании дуги заданной формы ……Page 269
1.1. Основные уравнения и его частные случаи ……Page 272
1.2. Символ. Условия нормальной разрешимости ……Page 274
1.3. Уравнения, решаемые элементарно ……Page 275
1.4. Уравнения, приводящиеся к виду (8.1) ……Page 278
1.5. Пространства функций ……Page 280
2.2. Задача о линейном сглаживании и предсказании ……Page 282
2.4. Задача теории наследственной упругости ……Page 283
3.1. Условия разрешимости ……Page 284
3.2. Факторизация ……Page 286
3.3. Решение неоднородного уравнения ……Page 288
3.4. Решение однородного уравнения ……Page 290
4.1. Приведение парного уравнения к эквивалентному уравнению на полуоси ……Page 291
4.2. Формула для индекса и свойства базиса решений однородного уравнения ……Page 292
6.1. Сведение к краевой задаче ……Page 293
§ 5. Примеры ……Page 294
§ 6. Парные уравнения с ядрами экспоненциального роста ……Page 298
6.2. Случай 1 ……Page 300
6.3. Случай 2 ……Page 302
7.1 Описание метода ……Page 305
7.3. Пример ……Page 307
8.1. Задача Римана ……Page 308
8.2. Уравнение Винера—Хопфа второго рода ……Page 312
8.3. Уравнение Винера—Хопфа первого рода ……Page 313
8.4. Парное уравнение второго рода ……Page 314
§ 9. Примеры ……Page 316
10.1. Основные предположения ……Page 319
10.2. Факторизация матриц функций ……Page 320
10.3. Условия разрешимости ……Page 321
10.4. Парные уравнения ……Page 324
10.5. Ядра, экспоненциально убывающие на бесконечности ……Page 326
§11. Уравнения на конечном промежутке ……Page 327
11.2. Ядра с рациональными преобразованиями Фурье ……Page 328
11.3. Замена дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами ……Page 329
11.4. Собственные значения ……Page 330
§ 1. Простейшие понятия и теоремы ……Page 335
1.2. Сингулярный интеграл ……Page 336
1.3. Условия существования сингулярного интеграла ……Page 337
2.3. Формулы, определяющие символ ……Page 340
2.4. Некоторые новые понятия ……Page 342
2.5. Изменение символа при замене независимых переменных ……Page 343
2.6. Интегральное представление оператора через его символ ……Page 344
3.1. Условия ограниченности сингулярного оператора ……Page 345
3.2. Разложение простейшего сингулярного оператора в ряд ……Page 346
3.4. Оператор, сопряженные с сингулярным ……Page 347
4.1. Определение сингулярного оператора и его символа ……Page 348
4.2. Другое определение сингулярного оператора ……Page 349
§ 5. Регуляризация и теоремы Фредгольма ……Page 350
6.1. Матричный сингулярный оператор ……Page 351
6.3. Индекс ……Page 352
§ 7. Сингулярные уравнения в пространствах Липшица ……Page 355
§ 8. Сингулярные уравнения на цилиндре ……Page 357
§ 9. Сингулярные уравнения в пространствах обобщенных функций ……Page 359
§ 10. Уравнения с вырождающимся символом ……Page 361
§ 11. Сингулярные интегро-дифференциальные уравнения ……Page 363
§ 12. Сингулярные уравнения на многообразии с краем ……Page 365
1.1. Основные понятия теории нелинейных операторов ……Page 368
1.2. Операторы Урысона со значениями в пространстве $C$ ……Page 371
1.3. Операторы Гаммерштейна со значениями в пространствах $L_q$ ……Page 375
1.4. Непрерывность оператора Урысона со значениями в пространствах $L_q$ ……Page 377
1.5. Полная непрерывность операторов Урысона со значениями в пространстве $L_q$ ……Page 378
1.6. Частные признаки ……Page 379
1.7. Операторы со значениями в пространстве $L_infty$ ……Page 380
1.8. Непрерывность и полная непрерывность других интегральных операторов ……Page 382
1.9. Производные нелинейных операторов ……Page 383
1.10. Производные оператора Гаммерштейна ……Page 384
1.11. Вспомогательные теоремы об операторе суперпозиции ……Page 387
1.12. Дифференцируемость оператора Урысона ……Page 391
1.14. Производные старших порядков ……Page 392
1.15. Аналитические операторы ……Page 394
1.16. Асимптотически линейные операторы ……Page 395
1.17. Дополнительные замечания ……Page 397
2.1. Постановка задачи ……Page 398
2.2. Уравнения с операторами, удовлетворяющими условию Липшица ……Page 399
2.3. Уравнения с вполне непрерывными операторами ……Page 400
2.4. Использование односторонних оценок ……Page 402
2.6. Вариационные методы ……Page 403
2.7. Существование ненулевых решений ……Page 406
2.8. Существование положительного решения ……Page 407
2.9. Уравнения с вогнутыми нелинейностями ……Page 409
2.10. Уравнения с параметром ……Page 411
2.11. Дополнительные замечания ……Page 413
3.1. Постановка задачи ……Page 414
3.2. Основная теорема о неявной функции ……Page 415
3.3. Дифференциальные свойства неявной функции ……Page 416
3.4. Аналитичность решения ……Page 420
3.5. Уравнение разветвления ……Page 421
3.6. Метод Некрасова—Назарова ……Page 424
3.7. Точки бифуркации ……Page 426
3.8. Дополнительные замечания о точках бифуркации ……Page 430
Библиография ……Page 432
Предметный указатель ……Page 445