Курс функционального анализа

Кадец В.М.

Table of contents :
20……Page 1
Введение ……Page 14
1.1. Множества и отображения ……Page 16
1.2.1. Терминология ……Page 18
1.2.2. Произведение двух топологических пространств ……Page 22
1.2.3. Компакты ……Page 23
1.2.4. Полунепрерывные функции ……Page 26
1.3.1. Метрика. Последовательности и топология ……Page 28
1.3.2. Упражнения ……Page 30
1.3.3. Расстояние от точки до множества ……Page 31
1.3.4. Полнота ……Page 32
1.3.5. Упражнения ……Page 33
1.3.6. Равномерная непрерывность. Теорема о продолжении ……Page 35
Пополнение метрического пространства ……Page 37
1.3.8. Множества первой категории и теорема Бэра ……Page 39
Упражнения ……Page 40
1.4.1. Предкомпакты ……Page 41
1.4.2. Пространство непрерывных функций. Теорема Арцела ……Page 44
1.4.3. Приложение: изопериметрическая задача ……Page 48
1.4.4. Канторово множество ……Page 50
2.1.1. Алгебры множеств ……Page 52
2.1.2. -Алгебры множеств. Борелевские множества ……Page 54
2.1.4. Меры: конечная и счётная аддитивность ……Page 58
2.1.5. Пространства с мерой. Полнота. Пополнение -алгебры по мере ……Page 62
и безатомные меры ……Page 65
2.2.1. Продолжение меры с полукольца множеств на порождённую им алгебру ……Page 67
2.2.2. Внешняя мера ……Page 71
2.2.3. Продолжение меры с алгебры на -алгебру ……Page 74
Гл_2-part2……Page 75
2.2.4. Теорема о монотонном классе множеств ……Page 77
2.3.1. Мера Лебега на отрезке ……Page 80
2.3.2. Ещё немного терминологии. Смысл термина «почти всюду» ……Page 85
2.3.3. Теорема Лебега о дифференцируемости монотонной функции ……Page 86
2.3.4. Тонкая задача теории меры. Существование неизмеримых по Лебегу множеств ……Page 91
2.3.5. Функция распределения и общий вид борелевской меры на отрезке ……Page 93
2.3.6. Канторова лестница и мера, равномерно распределённая на канторовом множестве ……Page 95
2.3.7. -Конечные меры и мера Лебега на оси ……Page 97
2.4. Комментарии к упражнениям ……Page 98
3.1.1. Критерий измеримости ……Page 102
3.1.2. Элементарные свойства измеримых функций ……Page 105
3.1.3. Характеристическая функция множества ……Page 107
3.1.4. Простые функции. Лебеговская аппроксимация измеримой функции простыми. Измеримость на пополнении пространства с мерой ……Page 108
3.2.1. Сходимость почти всюду ……Page 111
3.2.2. Сходимость по мере. Примеры ……Page 113
3.2.3. Теоремы о связи сходимости по мере со сходимостью почти всюду ……Page 115
3.2.4. Теорема Егорова ……Page 118
3.3. Комментарии к упражнениям ……Page 119
4.1.2. Предел по направленности. Критерий Коши ……Page 121
4.1.3. Разбиения ……Page 124
4.2.1. Интегральные суммы ……Page 126
4.2.2. Определение и простейшие свойства интеграла Лебега ……Page 128
4.2.3. Упражнения ……Page 132
4.2.4. Интеграл как функция множества ……Page 133
4.3.1. Измеримость интегрируемой функции ……Page 138
4.3.2. Теорема о равномерном пределе ……Page 140
4.3.3. Условие интегрируемости измеримой функции ……Page 141
4.4. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла ……Page 142
4.4.1. Лемма Фату ……Page 143
4.4.2. Теорема Лебега о мажорированной сходимости ……Page 145
4.4.3. Теоремы Лéви о последовательностях и рядах ……Page 146
4.4.4. Теорема о монотонном классе функций ……Page 147
4.5.1. Произведение пространств с мерой ……Page 149
4.5.2. Повторный интеграл и теорема Фубини ……Page 151
4.5.3. Обратная теорема Фубини ……Page 155
4.6.1. Интеграл Лебега и несобственный интеграл на отрезке ……Page 157
4.6.2. Интеграл по -конечной мере ……Page 159
4.6.3. Свёртка ……Page 163
4.7. Комментарии к упражнениям ……Page 165
5.1.1. Основные определения ……Page 167
5.1.2. Упорядоченные множества и лемма Цорна ……Page 168
5.1.3. Теорема существования базиса Гамеля ……Page 169
5.1.4. Линейные операции над подмножествами ……Page 170
5.2.1. Инъективность и сюръективность ……Page 171
5.2.2. Факторпространство ……Page 172
5.3. Выпуклость ……Page 173
5.3.1. Определения и свойства ……Page 174
5.3.2. Выпуклая оболочка ……Page 175
5.3.3. Гиперподпространства и гиперплоскости ……Page 176
5.3.4. Упражнения ……Page 177
5.4.1. Выпуклые функционалы ……Page 178
5.4.2. Функционал Минковского ……Page 179
5.4.3. Теорема Хана ( Банаха в аналитической форме ……Page 181
5.5.1. Инвариантное среднее на коммутативной полугруппе ……Page 183
5.5.2. Грубая задача теории меры ……Page 185
5.5.3. Упражнения ……Page 186
5.6. Комментарии к упражнениям ……Page 187
6.1.1. Понятие нормы. Примеры ……Page 188
6.1.2. Метрика нормированного пространства и сходимость. Изометрии ……Page 189
6.1.3. Пространство ……Page 190
6.1.4. Подпространства и факторпространства ……Page 192
6.2.1. Свойства шаров в нормированном пространстве ……Page 194
6.2.2. Определение нормы с помощью шара. Пространства ……Page 195
6.3.1. Ряды. Критерий полноты пространства в терминах абсолютной сходимости ……Page 198
6.3.2. Полнота пространства ……Page 200
6.3.3. Подпространства и факторпространства банахова пространства ……Page 201
6.3.4. Упражнения ……Page 202
6.4.1. Критерий непрерывности линейного оператора ……Page 203
6.4.2. Норма оператора ……Page 204
6.4.3. Упражнения ……Page 206
6.4.4. Поточечная сходимость ……Page 208
6.4.5. Полнота пространства операторов. Сопряжённое пространство ……Page 209
6.5. Продолжения операторов ……Page 210
6.5.1. Продолжение по непрерывности ……Page 211
6.5.2. Проекторы и продолжение с замкнутого подпространства ……Page 212
6.6. Комментарии к упражнениям ……Page 213
7.1.1. Теорема об ограниченности заряда ……Page 214
и отрицательности ……Page 216
7.1.3. Абсолютно непрерывные меры и заряды ……Page 219
7.1.4. Заряд, порождённый функцией ……Page 220
7.1.5. Строгая сингулярность ……Page 221
7.1.6. Теорема Радона ( Никодима ……Page 223
7.2. Производная и интеграл на отрезке ……Page 224
7.2.1. Интеграл производной ……Page 225
интегрирования ……Page 226
7.2.3. Функции ограниченной вариации и общий вид борелевского заряда на отрезке ……Page 227
7.2.4. Абсолютно непрерывные функции ……Page 229
7.2.5. Абсолютно непрерывные функции и абсолютно непрерывные борелевские заряды ……Page 231
7.2.6. Восстановление функции по её производной ……Page 232
7.2.7. Упражнения: замена переменных в интеграле Лебега ……Page 233
7.3. Комментарии к упражнениям ……Page 234
8.1.1. Внутренняя мера и регулярность ……Page 237
8.1.2. Носитель меры ……Page 239
8.2.1. Элементарный интеграл ……Page 240
8.2.2. Верхний интеграл полунепрерывной снизу функции ……Page 241
8.2.3. Верхний интеграл на ……Page 242
8.2.4. Пространство ……Page 244
8.3.1. -Измеримые множества. Мера, порожденная интегралом ……Page 247
8.3.2. Теорема об общем виде элементарного интеграла ……Page 249
8.3.3. Приближение измеримых функций непрерывными. Теорема Лузина ……Page 250
8.4.1. Регулярные борелевские заряды ……Page 252
8.4.2. Формулировка теоремы Ф. Рисса ( А. Маркова ( С. Какутани. Теорема единственности. Примеры ……Page 254
8.4.3. Положительная и отрицательная части функционала ……Page 258
8.4.4. Норма функционала на ……Page 261
8.4.5. Комплексные заряды и интеграл ……Page 262
в комплексном ……Page 264
8.5. Комментарии к упражнениям ……Page 267
9.1.1. Связь между вещественными и комплексными функционалами ……Page 269
9.1.2. Теорема Хана ( Банаха о продолжении ……Page 270
9.1.3. Упражнения ……Page 271
9.2.1. Опорный функционал ……Page 272
9.2.2. Аннулятор подпространства ……Page 274
9.2.3. Полные системы элементов ……Page 276
9.3.1. Несколько лемм ……Page 278
9.3.2. Теоремы об отделении выпуклых множеств ……Page 279
9.3.3. Примеры ……Page 282
9.3.4. Упражнения ……Page 283
9.4.1. Связь между свойствами исходного оператора и сопряжённого к нему ……Page 284
и факторпространствами ……Page 286
9.5. Комментарии к упражнениям ……Page 287
10.1.1. Критерий открытости отображения ……Page 289
10.1.2. Шарообразные множества ……Page 290
10.1.3. Теорема Банаха об открытом отображении ……Page 291
10.2.1. Изоморфизмы. Эквивалентные нормы ……Page 292
10.2.2. Теорема Банаха об обратном операторе ……Page 295
10.2.3. Ограниченные снизу операторы. Критерий замкнутости образа ……Page 296
10.2.4. Упражнения ……Page 298
10.3.1. Теорема о замкнутом графике ……Page 299
10.3.2. Дополняемые подпространства ……Page 301
10.3.3. Упражнения ……Page 303
10.4.1. Теорема Банаха ( Штейнгауза о поточечно ограниченных семействах операторов ……Page 304
10.4.2. Поточечная сходимость операторов ……Page 305
10.4.3. Две теоремы о рядах Фурье на отрезке ……Page 307
10.4.4. Упражнения ……Page 310
10.5.1. Определение и простейшие свойства ……Page 312
10.5.2. Координатные функционалы и операторы частных сумм ……Page 314
10.5.3. Линейные функционалы в пространстве с базисом ……Page 315
10.6. Комментарии к упражнениям ……Page 318
11.1.1. Банаховы алгебры: аксиоматика и примеры ……Page 320
11.1.2. Обратимость в банаховых алгебрах ……Page 322
11.1.3. Упражнения ……Page 324
11.1.4. Спектр ……Page 325
11.1.5. Резольвента и непустота спектра ……Page 326
11.1.6. Спектр оператора и его собственные числа ……Page 328
11.1.7. Матрица оператора ……Page 331
11.2.1. Предкомпактность: общие результаты ……Page 333
11.2.2. Конечномерные операторы и аппроксимационное свойство ……Page 337
11.2.3. Критерии компактности множеств в конкретных пространствах ……Page 339
11.2.4. Упражнения ……Page 343
11.3.1. Определение и примеры ……Page 344
11.3.2. Свойства компактных операторов ……Page 345
11.3.3. Упражнения ……Page 348
11.3.4. Операторы вида I –T, где T ( компактный оператор ……Page 349
11.3.5. Упражнения ……Page 351
11.3.6. Структура спектра компактного оператора ……Page 352
11.4. Комментарии к упражнениям ……Page 353
12.1.1. Скалярное произведение ……Page 356
12.1.2. Неравенство Коши ( Буняковского ……Page 358
12.1.3. Понятие гильбертова пространства ……Page 359
12.2.1. Теорема о наилучшем приближении ……Page 360
12.2.2. Ортогональные дополнения и ортопроекторы ……Page 362
в гильбертовом пространстве ……Page 364
12.3.1. Критерий сходимости ортогонального ряда ……Page 366
12.3.2. Ортонормированные системы. Неравенство Бесселя ……Page 367
12.3.3. Ряды Фурье, ортонормированные базисы и равенство Парсеваля ……Page 369
12.3.4. Ортогонализация по Граму – Шмидту и теорема существования ортонормированного базиса ……Page 371
12.3.5. Теорема об изоморфизме ……Page 373
12.4.1. Билинейные формы в гильбертовом пространстве ……Page 375
12.4.2. Сопряжённый оператор к оператору в гильбертовом пространстве ……Page 376
12.4.3. Упражнения ……Page 377
12.4.4. Самосопряженный оператор и его квадратичная форма ……Page 378
12.4.5. Упражнения ……Page 380
12.4.6. Неравенства между операторами ……Page 381
12.4.7. Спектр самосопряжённого оператора ……Page 382
12.4.8. Компактные самосопряженные операторы ……Page 384
12.5. Комментарии к упражнениям ……Page 387
13.1.1. Многочлены от оператора ……Page 389
13.1.2. Многочлены от самосопряженного оператора ……Page 391
13.1.3. Определение непрерывной функции от самосопряженного оператора ……Page 392
13.1.4. Свойства непрерывных функций от самосопряженного оператора ……Page 393
13.1.5. Применения непрерывных функций от оператора ……Page 395
13.2.1. Модуль оператора ……Page 398
13.2.2. Определение и простейшие свойства унитарных операторов ……Page 399
13.2.3. Полярное разложение ……Page 400
13.3.1. Борелевские функции от оператора ……Page 403
13.3.2. Упражнения ……Page 406
13.4.1. Интеграл по векторной мере ……Page 409
13.4.2. Полувариация и теорема существования интеграла ……Page 411
13.4.3. Спектральная мера и спектральные проекторы ……Page 413
13.4.5. Линейные уравнения ……Page 415
13.5. Комментарии к упражнениям ……Page 418
14.1.1. Неравенство Гёльдера ……Page 420
14.1.2. Связь между при различных ……Page 421
14.1.3. Упражнения ……Page 424
14.1.4. Функционал интегрирования с весом ……Page 425
14.1.5. Общий вид линейного функционала в ……Page 427
14.1.6. Упражнения ……Page 432
14.2. Преобразование Фурье на оси ……Page 434
14.2.1. -Образные последовательности и теорема Дини ……Page 435
14.2.2. Преобразование Фурье в на оси ……Page 437
14.2.3. Формулы обращения ……Page 440
14.2.4. Преобразование Фурье и дифференцирование ……Page 442
14.2.5. Преобразование Фурье в на оси ……Page 444
14.2.6. Упражнения ……Page 449
14.3.1. Теорема Адамара о трёх прямых ……Page 450
14.3.2. Теорема Рисса (Торина ……Page 451
14.3.3. Приложения к рядам Фурье и преобразованию Фурье ……Page 455
14.4. Комментарии к упражнениям ……Page 458
15.1.1. Сжимающие отображения ……Page 461
15.1.2. Свойство неподвижной точки. Теорема Брауэра ……Page 463
15.1.3. Разложения единицы и аппроксимация непрерывных отображений конечномерными ……Page 465
15.1.4. Принцип Шаудера ……Page 467
15.2.1. Теоремы Пикара и Пеано существования решения задачи Коши дифференциального уравнения ……Page 469
15.2.2. Теорема Ломоносова об инвариантном подпространстве ……Page 472
15.3.1. Теорема Какутани ……Page 475
15.3.2. Топологические группы ……Page 477
15.3.3. Мера Хаара ……Page 479
15.4. Комментарии к упражнениям ……Page 485
16.1.1. Фильтры и базы фильтров ……Page 486
16.1.2. Упражнения ……Page 488
16.1.3. Пределы, предельные точки и сравнение фильтров ……Page 489
16.1.4. Упражнения ……Page 491
16.1.5. Ультрафильтры. Критерий компактности ……Page 493
16.1.6. Упражнения ……Page 495
16.1.7. Топология, порождённая семейством отображений. Тихоновское произведение ……Page 497
16.1.8. Упражнения ……Page 500
16.2.1. Аксиоматика и терминология ……Page 502
16.2.2. Упражнения ……Page 504
16.2.3. Полнота, предкомпактность, компактность ……Page 506
16.2.4. Упражнения ……Page 510
16.2.5. Линейные операторы и функционалы ……Page 512
16.2.6. Упражнения ……Page 516
16.3.1. Полунормы и топология ……Page 517
16.3.2. Упражнения ……Page 520
16.3.3. Слабые топологии ……Page 521
16.3.4. Интерполяционная теорема Эйдельгейта ……Page 524
16.3.5. Предкомпактность и ограниченность ……Page 529
17.1.1. Общее понятие двойственности. Поляры ……Page 534
17.1.2. Упражнения ……Page 537
17.1.3. Теорема о биполяре ……Page 539
17.1.4. Сопряженный оператор ……Page 541
17.1.5. Теорема Алаоглу ……Page 545
17.1.6. Упражнения: топологии равномерной сходимости ……Page 547
17.2.1. Слабая со звёздочкой сходимость ……Page 549
17.2.2. Второе сопряжённое пространство ……Page 552
17.2.3. Слабая сходимость в банаховых пространствах ……Page 554
17.2.4. Тотальные и нормирующие множества. Условия метризуемости ……Page 558
17.2.5. Теорема Эберлейна ( Шмульяна ……Page 563
17.2.6. Рефлексивные пространства ……Page 567
17.3. Комментарии к упражнениям ……Page 571
18.1.1. Определение и примеры ……Page 573
18.1.2. Теорема Крейна ( Мильмана ……Page 576
18.1.3. Слабый интеграл и теорема Крейна ( Мильмана в интегральной форме ……Page 582
18.2.1. Связь между свойствами компакта и пространством ……Page 587
18.2.2. Теорема Стоуна ( Вейерштрасса ……Page 591
18.2.3. Вполне монотонные функции ……Page 594
18.2.4. Теорема Ляпунова о векторной мере ……Page 597
18.3. Комментарии к упражнениям ……Page 600
Литература ……Page 601
20_Указ_20……Page 605
21_Указ_21……Page 607