Риманова геометрия

Эйзенхарт Л.П. (Eisenhart)

Table of contents :
Обложка ……Page 1
Титульный лист оригинала ……Page 2
Титульный лист ……Page 3
От редактора перевода ……Page 5
Предисловие автора ……Page 7
1. Преобразование координат. Условное обозначение суммы ……Page 9
2. Контравариантные векторы. Конгруэнции кривых ……Page 12
3. Инварианты. Ковариантные векторы ……Page 15
4. Тензоры. Симметрические и кососимметрические тензоры ……Page 18
5. Сложение, вычитание и умножение тензоров. Свертывание ……Page 21
6. Взаимно-обратные тензоры второй валентности. Опускание и поднимание индексов ……Page 24
7. Трехиндексные символы Кристоффеля и зависимссть между ними ……Page 28
8. Символы Римана и риманов тензор. Тензор Риччи ……Page 30
9. Квадратичные дифференциальные формы ……Page 34
10. Эквивалентность симметрических квадратичных дифференциальных форм ……Page 35
11. Ковариантное дифференцирование относительно тензора $g_{ij}$ ……Page 38
12. Определение метрики. Фундаментальный тензор ……Page 48
13. Угол между двумя векторами. Ортогональность ……Page 51
14. Дифференциальные параметры. Нормали к гиперповерхности ……Page 57
15. Системы $n$-ортогональных гиперповерхностей в $V_n$ ……Page 59
16. Метрические свойства пространства $V_n$, вложенного в $V_m$ ……Page 60
17. Геодезические линии ……Page 65
18. Римановы, нормальные и геодезические координаты ……Page 70
19. Линейный элемент в геодезических координатах. Конечные уравнения геодезических ……Page 75
20. Кривизна кривой ……Page 79
21. Параллелизм ……Page 81
22. Параллельное перенесение и риманов тензор ……Page 84
23. Поле параллельных векторов ……Page 87
24. Дифференцирование векторного поля вдоль кривой. Параллелизм в подпространстве ……Page 93
25. Кривизна пространств $V_n$ в точке ……Page 102
26. Тождество Бианки. Теорема Шура ……Page 104
27. Изометрическое соответствие пространств постоянной кривизны. Движение в пространстве $V_n$ ……Page 106
28. Конформные пространства. Пространства, конформные с плоским пространством ……Page 112
29. Задание тензора с помощью компонент относительно ортогонального репера и инвариантов ……Page 121
30. Коэфициенты вращения. Геодезические конгруэнции ……Page 122
31. Определители и матрицы ……Page 126
32. Ортогональная связка Шмидта. Производные направления высших порядков. Формулы Френе для кривой в пространстве $V_n$ ……Page 129
33. Главные направления симметрического ковариантного тензора второй валентности ……Page 134
34. Геометрическая интерпретация тензора Риччи. Главные направления Риччи ……Page 140
35. Условия того, чтобы конгруэнция, определяемая направлением, принадлежащим ортогональному реперу, была нормальной ……Page 142
36. $N$-ортогональная система гиперповерхностей ……Page 145
37. $N$-ортогональная система гиперповерхностей в пространстве, конформном плоскому пространству ……Page 147
38. Конгруэнции, канонические относительно данной конгруэнции ……Page 154
39. Пространства, для которых уравнения геодезических допускают первый интеграл ……Page 157
40. Пространства $V_n$ с соответствующими геодезическими ……Page 161
41. Некоторые специальные пространства с соответствующими геодезическими ……Page 166
42. Нормали к пространству $V_n$, вложенному в пространство $V_m$ ……Page 175
43. Уравнения Гаусса и Кодацци для гиперповерхности ……Page 179
44. Кривизна кривой на гиперповерхности ……Page 182
45. Главные нормальные кривизны гиперповерхности и линии кривизны ……Page 185
46. Свойства второй основной формы. Сопряженные направления. Асимптотические направления ……Page 188
47. Уравнения Гаусса и Кодацци для пространства $V_n$, вложенного в пространство $V_m$ ……Page 193
48. Нормальная и относительная кривизны кривой в пространстве $V_n$, вложенном в $V_m$ ……Page 198
49. Вторая основная форма пространства $V_n$ в $V_m$. Сопряженные и асимптотические направления ……Page 200
50. Линии кривизны и средняя кривизна ……Page 203
51. Основные уравнения пространства $V_n$, вложенного в $V_m$, выраженные через инварианты и ортогональный репер ……Page 206
52. Минимальные многообразия ……Page 213
53. Гиперповерхности с неопределенными линиями кривизны ……Page 216
54. Вполне геодезические многообразия в пространстве ……Page 220
55. Класс пространства $V_n$ ……Page 225
56. Пространство $V_n$ класса $p>1$ ……Page 228
57. Эволюты пространства $V_n$ в пространстве $S_{n+p}$ ……Page 232
58. Подпространство $V_n$ пространства $V_m$,вложенного в $S_{n+p}$ ……Page 235
59. Пространства $V_n$ первого класса ……Page 237
60. Наложимость гиперповерхностей плоского пространства ……Page 240
61. Пространства постоянной кривизны, которые являются гиперповерхностями плоского пространства ……Page 243
62. Координаты Вейерштрасса. Движение в пространстве постоянной кривизны ……Page 246
63. Уравнения геодезических в пространстве постоянной кривизны, выраженные в координатах Вейерштрасса ……Page 250
64. Уравнения пространства $V_n$, вложенного в $V_m$ постоянной кривизны ……Page 253
65. Пространства $V_n$, конформные $S_n$ ……Page 258
66. Свойства непрерывных групп ……Page 266
67. Транзитивные и интранзитивные группы. Инвариантные многообразия ……Page 271
68. Бесконечно малые преобразования, которые сохраняют геодезические ……Page 274
69. Бесконечно малые конформные преобразования ……Page 277
70. Бесконечно малые движения. Уравнения Киллинга ……Page 281
71. Условия интегрируемости уравнений Киллинга. Пространства постоянной кривизны ……Page 285
72. Бесконечно малый перенос ……Page 287
73. Геометрические свойства путей движения ……Page 289
74. Пространство $V_2$, допускающее группу движений ……Page 291
75. Интранзитивные группы движений ……Page 294
76. Пространство $V_3$, допускающее группу $G_2$ движений. Полная группа движений порядка $n(n+1)/2—1$ ……Page 296
77. Просто транзитивные группы как группы движений ……Page 298
Библиография ……Page 304
ОГЛАВЛЕНИЕ ……Page 313
Выходные данные ……Page 316