Лекции по топологии трехмерных многообразий. Введение в инвариант Кассона

Николай Савельев3-11-016271-7

Книга посвящена введению в бурно развивающуюся область математики — топологию трехмерных многообразий. Она начинается с изложения начальных сведений из этой области науки. Вторая часть книги посвящена инварианту Рохлина и его свойствам, в заключительной части книги рассматривается инвариант Кассона и его приложения. В книге приведено много примеров.
Книга предназначена для студентов и аспирантов математических специальностей.

---

Table of contents :
Предисловие 6
Введение 9
Глоссарий 11
Лекция 1. Разбиения Хегора 25
§ 1. Введение 25
§2. Существование разбиений Хегора 25
§3. Стабильная эквивалентность разбиений Хегора 27
§4. Группы классов отображений 30
§ 5. Многообразия рода Хегора не выше 1 32
§6. Многообразия Зейферта 36
Лекция 2. Перестройки Дэна 38
§1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях 38
§2. Перестройки вдоль зацеплений в S3 39
§3. Многообразия Зейферта и линзы 42
§4. Перестройки и четырехмерные многообразия 45
Лекция 3. Исчисление Кирби 48
§ 1. Коэффициент зацепления 48
§2. Движения Кирби 50
§3. Матрица зацеплений 59
§4. Обращение ориентации 60
Лекция 4. Четные перестройки 61
Лекция 5. Обзор теории четырехмерных многообразий 67
§1. Определение формы пересечений 67
§2. Унимодулярные целочисленные формы 71
§3. Четырехмерные многообразия и формы пересечений 73
Лекция 6. Четырехмерные многообразия с краем 76
§ 1. Форма пересечений 76
§2. Гомологические сферы как результат перестройки вдоль узлов 81
§3. Гомологические сферы Зейферта 81
§4. Инвариант Рохлина 83
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений 85
§1. Поверхности Зейферта 85
§ 2. Матрицы Зейферта 88
§3. Многочлен Александера 89
§4. Инварианты из поверхностей Зейферта 93
§5. Узлы в гомологических сферах 95
§6. Почти разводимые зацепления 97
Лекция 8. Расслоенные узлы 101
§1. Определение расслоенного узла 101
§2. Монодромия 102
§3. Еще о торических узлах 105
§4. Джойны 106
§5. Монодромия торических узлов 108
Лекция 9. Инвариант Арфа 111
§1. Инвариант Арфа квадратичной формы 111
§2. Инвариант Арфа узла 114
Лекция 10. Теорема Рохлина 118
§1. Характеристические поверхности 118
§2. Определение формы q 119
§3. Представление гомологических классов поверхностями . . .124
Лекция 11. Инвариант Рохлина 126
§1. Определение инварианта Рохлина 126
§2. Инвариант Рохлина для сфер Зейферта 127
§3. Формула перестройки 129
§4. Группа гомологических кобордизмов 132
Лекция 12. Инвариант Кассона 136
Лекция 13. Группа SUB) 143
Лекция 14. Пространства представлений 149
§1. Топология пространств представлений 149
§2. Неприводимые представления 150
§3. Представления групп поверхностей 151
§4. Представления групп поверхностей 151
§5. Гомологические сферы Зейферта 154
Лекция 15. Локальные свойства пространств представлений 160
Лекция 16. Инвариант Кассона для разбиений Хегора 164
§1. Пересечения пространств представлений 164
§2. Ориентации 167
§3. Независимость от разбиения Хегора 169
Лекция 17. Инвариант Кассона для узлов 173
§1. Предпочтительные разбиения Хегора 173
§2. Инвариант Кассона для узлов 174
§3. Разностный цикл 177
§4. Почти разводимые зацепления 179
§5. Инвариант Кассона для трилистника 180
Лекция 18. Применение инварианта Кассона 183
§1. Триангулирование четырехмерных многообразий 183
§2. Многомерные многообразия 184
Лекция 19. Инвариант Кассона для многообразий Зейферта 186
§1. Пространство 5lCE(p,q, r)) 186
§2. Вычисление инварианта Кассона 190
Предметный указатель 203