Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие

Кумпяк Д.Е.

Table of contents :
Оглавление……Page 4
Постоянно используемые обозначения……Page 8
1.1.1 Определения……Page 10
1.1.2 Канонический изоморфизм конечномерного векторного пространства и его второго сопряжённого……Page 11
1.1.3 Трансформационные свойства векторов и ковекторов……Page 12
1.2.1 Определение тензора……Page 14
1.2.2 Операция тензорного произведения……Page 15
1.2.3 Компоненты тензора в базисе……Page 16
1.2.4 Трансформационные свойства тензоров……Page 18
1.2.5 Операция свёртки……Page 19
1.2.7 Операции тензорной алгебры в координатах……Page 20
1.3 Тензоры на линейном пространстве со скалярным произведением……Page 21
1.3.1 Отождествление векторов и ковекторов в (псевдо)евклидовом пространстве……Page 22
1.3.2 Контравариантный метрический тензор……Page 23
1.3.3 Подъём и спуск индексов……Page 24
1.4.1 Действие группы перестановок на пространстве k-линейных форм……Page 25
1.4.2 Внешние формы и оператор альтернирования……Page 26
1.4.3 Операция внешнего произведения……Page 29
1.4.4 Базис линейного пространства внешних k-форм……Page 31
1.5.1 Ориентация линейного пространства. Форма объёма……Page 35
1.5.2 Метрическая форма объёма……Page 36
1.5.3 Дуальная форма объёма……Page 37
1.5.4 Оператор Ходжа……Page 38
1.5.5 Векторное произведение……Page 41
1.6.1 Тензор инерции абсолютно твёрдого тела……Page 42
1.6.2 Вычисление тензора инерции в координатах……Page 44
2.1 Экскурс в анализ……Page 45
2.1.1 Дифференцируемость, дифференциал……Page 46
2.1.2 Геометрический смысл дифференциала. Производная по направлению……Page 47
2.2 Регулярные системы координат……Page 48
2.2.2 Регулярные системы координат……Page 49
2.2.3 Криволинейные координаты. Координатные линии. Локальный базис……Page 53
2.2.4 Матрица Якоби как матрица дифференциала……Page 59
2.2.5 Ориентация регулярной системы координат……Page 60
2.3.1 Векторные поля……Page 62
2.3.2 Тензорные поля произвольной структуры……Page 64
2.3.3 Дифференциальные формы……Page 67
2.3.4 Метрический тензор и форма объёма в криволинейных координатах……Page 68
2.3.5 Градиент гладкой функции……Page 69
2.4.1 Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах……Page 70
2.4.2 Уравнение Ньютона в криволинейных координатах (уравнения Лагранжа)……Page 72
3.1 Определение и свойства внешнего дифференциала……Page 74
3.1.1 Пример: условия Коши-Римана на языке внешнего дифференцирования……Page 81
3.2.1 Дивергенция векторного поля……Page 82
3.2.2 Оператор Лапласа……Page 85
3.2.3 Ротор векторного поля……Page 86
3.2.4 Некоторые тождества векторного анализа как следствия свойств внешней производной……Page 88
3.3.1 Замкнутые и точные дифференциальные формы. Лемма Пуанкаре……Page 89
3.3.2 Некоторые приложения леммы Пуанкаре: скалярный и векторный потенциал……Page 95
3.4 Антиувлечение дифференциальных форм гладким отображением……Page 99
3.5.1 Классическая форма уравнений электромагнитного поля……Page 106
3.5.2 Пространство Минковского и тензор электромагнитного поля……Page 107
3.5.3 Уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм……Page 109
4.1.1 Экскурс в анализ: замена переменных в кратном интеграле……Page 112
4.1.2 Интегрирование дифференциальных форм в ориентированном аффинном пространстве……Page 113
4.1.3 Интегрирование дифференциальных форм по цепям……Page 117
4.2 Общая интегральная формула Стокса……Page 133
4.3.1 Теорема Гаусса о дивергенции……Page 139
4.3.2 Первая и вторая формулы Грина……Page 140
4.3.3 Формула Остроградского-Гаусса……Page 141
4.3.4 Классическая формула Стокса……Page 142
4.3.5 Формула Грина на плоскости……Page 144
4.3.6 Теорема Коши о вычетах……Page 145
4.4.1 Физическая интерпретация поверхностного интеграла II рода……Page 147
4.4.2 Физическая интерпретация div……Page 150
4.4.3 Теорема о скорости изменения фазового объёма……Page 152
4.4.4 Физическая интерпретация rot……Page 156
Список литературы……Page 157