Высшие трансцендентные функции

Бейтмен Г., Эрдейи А. (Bateman,Erdelyi)

Table of contents :
От переводчика……Page 9
Введение……Page 11
1.1. Определение гамма-функции……Page 15
1.2. Функциональные уравнения, которым удовлетворяет Г(z)……Page 17
1.3. Выражение некоторых бесконечных произведений через гамма-функцию……Page 19
1.4. Некоторые бесконечные ряды, связанные с гамма-функцией……Page 21
1.5. Бета-функция……Page 23
1.5.1. Определенные интегралы, выражаемые через бета-функцию……Page 24
1.6. Выражения гамма- и бета-функций в виде контурных интегралов……Page 28
1.7. Функция $psi(z)$……Page 30
1.7.2. Интегральные представления для $psi(z)$……Page 31
1.7.4. Некоторые бесконечные ряды, связанные с функцией $psi(z)$……Page 34
1.8. Функция G(z)……Page 35
1.9. Выражения для функции ln Г(z)……Page 36
1.9.1. Ряды Куммера для ln Г(z)……Page 38
1.10. Обобщенная дзета-функция……Page 40
1.11. Функция $Phi(z,s,v)$……Page 42
1.11.1. Дилогарифм Эйлера……Page 46
1.12. Дзета-функция Римана……Page 47
1.13. Числа и многочлены Бернулли……Page 50
1.13.1. Многочлены Бернулли высшего порядка……Page 54
1.14. Числа и многочлены Эйлера……Page 55
1.14.1. Многочлены Эйлера высшего порядка……Page 57
1.15. Некоторые интегральные формулы, связанные с многочленами Эйлера и Бернулли……Page 58
1.16. Полигамма-функция……Page 59
1.17. Некоторые выражения для ln Г(1+z), $psi(1+z)$, G(1+z) и Г(z)……Page 60
1.18. Асимптотические разложения……Page 61
1.19. Интегралы Меллина-Бернса……Page 63
1.20. Разложения некоторых тригонометрических функций в степенные ряды……Page 65
1.21. Некоторые другие разложения и символы……Page 67
2.1.1. Гипергеометрическое уравнение……Page 69
2.1.2. Элементарные соотношения……Page 70
2.1.3. Основные интегральные представления……Page 72
2.1.4. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда……Page 74
2.1.5. Квадратичные и кубичные преобразования……Page 76
2.1.6. F(a,b;c;z) как функция параметров……Page 80
2.2.1. Частное решение……Page 81
2.2.2. Полное решение в вырожденном случае……Page 82
2.3.1. Линейно независимые решения гипергеометрического уравнения в невырожденном случае……Page 85
2.3.2. Асимптотические разложения……Page 86
2.4. Интегралы, выражающие или содержащие гипергеометрические функции……Page 89
2.5.2. Произведения гипергеометрических рядов……Page 93
2.5.3. Соотношения, содержащие биномиальные коэффициенты и неполную бета-функцию……Page 96
2.5.4. Непрерывные дроби……Page 98
2.5.5. Частные случаи гипергеометрической функции……Page 99
2.6.1. Редукция гипергеометрического уравнения……Page 100
2.6.2. Квадратичные и кубичные преобразования……Page 102
2.7.1. Группа гипергеометрического уравнения……Page 103
2.7.2. Функция Шварца……Page 105
2.7.4. Нули……Page 108
2.8. Формулы для гипергеометрического ряда……Page 109
2.9. Ряды Куммера и соотношения между ними……Page 113
2.10. Аналитическое продолжение……Page 116
2.11. Квадратичные преобразования и преобразования высших степеней……Page 118
2.12. Интегралы……Page 123
3.1. Введение……Page 125
3.2. Решение дифференциального уравнения Лежандра……Page 126
3.3.1. Соотношения между функциями Лежандра……Page 140
3.3.2. Некоторые дальнейшие связи с гипергеометрическим рядом……Page 142
3.4. Функции Лежандра на разрезе……Page 143
3.5. Тригонометрические разложения для $P_nu^mu(costheta)$ и $Q_nu^mu(costheta)$……Page 146
3.6.1. Частные значения $mu$ и $nu$……Page 148
3.6.2. Многочлены Лежандра……Page 151
3.7. Интегральные представления……Page 155
3.8. Соотношения между смежными функциями Лежандра……Page 161
3.9.1. Асимптотические разложения……Page 163
3.9.2. Поведение функций Лежандра вблизи особых точек……Page 164
3.10. Разложения по функциям Лежандра……Page 165
3.11. Теоремы сложения……Page 169
3.12. Интегралы, содержащие функции Лежандра……Page 170
3.13. Функции кольца или тороидальные функции……Page 174
3.14. Функции конуса……Page 176
3.15.1. Многочлены Гегенбауэра……Page 177
3.15.2. Функции Гегенбауэра……Page 180
3.16. Некоторые другие обозначения……Page 181
4.1. Введение……Page 183
4.2. Дифференциальные уравнения……Page 184
4.3. Тождества и рекуррентные соотношения……Page 185
4.4. Обобщенный гипергеометрический ряд, аргумент которого равен единице в случае p=q+1……Page 188
4.5. Преобразования ${}_{q+1}F_q$ при значениях аргумента, отличных от единицы……Page 190
4.6. Интегралы……Page 192
4.7. Некоторые частные результаты……Page 193
4.8. Базисные гипергеометрические ряды……Page 195
5.1. Различные обобщения……Page 199
5.2. Определение E-функции Мак-Роберта……Page 200
5.2.1. Рекуррентные соотношения……Page 201
5.2.2. Интегралы……Page 202
5.3.1. Простые тождества……Page 203
5.4. Дифференциальные уравнения……Page 205
5.4.1. Асимптотические разложения……Page 207
5.5.1. Ряды G-функций……Page 208
5.5.2. Интегралы, содержащие G-функции……Page 209
5.6. Частные случаи G-функции……Page 210
5.7. Гипергеометрические ряды двух переменных……Page 218
5.7.1. Список Горна……Page 219
5.7.2. Сходимость рядов……Page 221
5.8.1. Двойные интегралы типа Эйлера……Page 224
5.8.2. Обычные интегралы типа Эйлера……Page 225
5.9. Системы дифференциальных уравнений в частных производных……Page 226
5.9.1. Исследования Айнса……Page 230
5.10. Формулы приведения……Page 231
5.11. Преобразования……Page 232
5.12. Символические формы и разложения……Page 234
5.14. Другие ряды……Page 236
6.1. Предварительные замечания……Page 237
6.2. Дифференциальные уравнения……Page 238
6.3. Общее решение вырожденного уравнения в окрестности начальной точки……Page 241
6.4. Элементарные соотношения для функций $Phi$……Page 242
6.5. Основные интегральные представления……Page 243
6.6. Элементарные соотношения для функции $Psi$……Page 245
6.7. Фундаментальная система решений для вырожденного гипергеометрического уравнения……Page 246
6.7.1. Логарифмический случай……Page 247
6.8. Дальнейшие свойства функции $Psi$……Page 249
6.9. Функции Уиттекера……Page 251
6.9.1. Функции Бесселя……Page 252
6.9.2. Другие частные случаи вырожденной гипергеометрической функции……Page 253
6.10. Преобразование Лапласа и вырожденная гипергеометрическая функция……Page 256
6.11.1. Функция $Phi$……Page 259
6.11.2. Функция $Psi$……Page 260
6.11.3. Функции Уиттекера……Page 262
6.12. Разложения по многочленам Лагерра и функциям Бесселя……Page 263
6.13.1. Поведение при больших значениях |x|……Page 265
6.13.2. Большие значения параметров……Page 266
6.13.3. Большие значения переменного и параметра……Page 268
6.14. Теоремы умножения……Page 271
6.15.1. Ряды……Page 272
6.15.2. Интегралы……Page 273
6.15.3. Произведения вырожденных гипергеометрическпх функций……Page 274
6.16. Вещественные нули для вещественных a и c……Page 277
6.17. Дескриптивные свойства при вещественных a, c, x……Page 279
Цитированная литература……Page 281
Именной указатель……Page 289
Предметный указатель……Page 290
Указатель обозначений……Page 293