Дифференциальные уравнения: Учеб. для студентов высш. техн. учеб. заведенийВып. 8

С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова5-7038-1649-1

Изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и даны основные понятия об уравнениях с частными производными первого порядка. Авторы стремились объединить строгость изложения теории дифференциальных уравнений с прикладной направленностью ее методов. В связи с этим приведены многочисленные примеры из механики и физики. Отдельная глава посвящена линейным ОДУ второго порядка, к которым приводят многие прикладные задачи. Главу, посвященную изложению численных методов, следует рассматривать как вводную. Содержание учебника соответствует курсу лекций, которые авторы читают в МГТУ Им. Н. Э. Баумана. Для студентов технических университетов и вузов. Может быть полезен интересующимся прикладными задачами теории дифференциальных уравнений. Всем салют 🙂 Продолжаю серию “Математика в техническом университете “. И так, нововведения серии: 1. Добавлен список уже отсканенных книжек + помечены готовящиеся к цифровому выходу в свет) 2. Все теперь делаются по одному шаблону: djvu+ocr, обложка и полное содержание. После чего готовая книга архивируется в rar с 5% восстановлением. 3. ВСЕ архивы с книгами серии запоролены. Сделано из многих соображений, не буду вдаваться в подробности. Пароль: www.infanata.org зы. Теорию вероятностей переделал в нормальном качестве, линк смотрите ниже, либо в комментах в публикации о ней. ззы. Всевозможные предложения и пожелания по серии и виду публикаций всячески приветствуются -)

---

Table of contents :
Предисловие……Page 5
Основные обозначения……Page 9
1.1. Основные понятия и определения……Page 15
1.2. Геометрическая интерпретация решения ОДУ. Поле направлений……Page 18
1.3. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений……Page 19
Вопросы и задачи……Page 23
2.1. Постановка задачи Коши. Интегральное неравенство……Page 24
2.2. Теорема существования и единственности решения (теорема Коши)……Page 27
2.3. Оценка разности двух уравнений. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и параметра……Page 37
2.4. Изоклины и их использование для приближенного построения интегральных кривых……Page 45
Вопросы и задачи……Page 47
3.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными……Page 49
3.2. Однородные и квазиоднородные уравнения……Page 55
3.3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель……Page 59
3.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати……Page 63
3.5. Особые точки и особые решения ОДУ первого порядка……Page 71
3.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной……Page 74
Д.3.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах……Page 78
Д.3.2. Ортогональные и изогональные траектории……Page 109
Вопросы и задачи……Page 113
4.1. Задача и теорема Коши……Page 115
4.2. Частное и общее решения системы дифференциальных уравнений……Page 118
4.3. Оценка разности двух решений……Page 119
4.4. Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения высшего порядка. Случаи понижения порядка……Page 125
Вопросы и задачи……Page 132
5.1. Определения и основные свойства решений……Page 134
5.2. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского – Лиувилля……Page 138
5.3. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем……Page 144
5.4. Метод вариации постоянных……Page 147
5.5. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы……Page 151
5.6. Нахождение фундаментальной системы решений в случае различных корней характеристического уравнения……Page 153
5.7. Структура фундаментальной системы решений в случае кратных корней……Page 161
6.1. Сведение к линейной системе. Определитель Вронского и структура общего решения однородного уравнения……Page 169
6.2. Общее решение неоднородного уравнения. Метод Лагранжа вариации постоянных……Page 177
6.3. Понижение порядка линейного дифференциального уравнения……Page 183
6.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай различных корней характеристического уравнения……Page 185
6.5. Формула сдвига. Случай кратных корней характеристического уравнения. Уравнения Эйлера, Лагранжа, Чебышева……Page 190
6.6. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью……Page 200
Вопросы и задачи……Page 208
7.1. Приведение уравнения к двучленному виду……Page 211
7.2. Нули решений. Теорема о конечности числа нулей на отрезке……Page 214
7.3. Теорема о чередовании нулей. Теоремы сравнения и Кнезера……Page 216
Д.7.1. О нулях решений нелинейных дифференциальных уравнений……Page 222
Вопросы и задачи……Page 223
8.1. Основные понятия и определения……Page 224
8.2. Теорема о локальном существовании системы первых интегралов……Page 228
8.3. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов……Page 230
8.4. Симметрическая форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений……Page 231
Вопросы и задачи……Page 234
9.1. Основные определения и понятия……Page 235
9.2. Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений……Page 241
9.3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению……Page 245
9.4. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости……Page 251
9.5. Теоремы Четаева и Ляпунова о неустойчивости……Page 254
Д.9.1. Библиографический комментарий……Page 257
Вопросы и задачи……Page 258
10.1. Фазовый портрет системы……Page 259
10.2. Система нелинейных дифференциальных уравнений……Page 273
Д.10.1. Математическая модель сосуществования двух популяций……Page 278
Вопросы и задачи……Page 281
11.1. Постановка краевой задачи……Page 283
11.2. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши……Page 286
11.3. Прикладные примеры решения краевой задачи……Page 290
Вопросы и задачи……Page 303
12.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов……Page 304
12.2. Метод последовательных приближений……Page 308
12.3. Метод ломаных Эйлера……Page 310
12.4. Метод Рунге – Кутты……Page 314
12.5. Метод Чаплыгина……Page 320
Вопросы и задачи……Page 324
13.1. Линейное дифференциальное уравнение. Уравнения характеристик. Задача Коши……Page 325
13.2. Квазилинейное дифференциальное уравнение……Page 330
Вопросы и задачи……Page 334
Список рекомендуемой литературы……Page 335
Предметный указатель……Page 338