Методы возмущений в прикладной математике

Коул Д.Д.

В книге отражены и систематизированы основные идеи и результаты, полученные в этой области советскими и зарубежными учеными. Автору удалось дать общий подход к решению многих прикладных задач. Наряду с широко известными методами сращивания асимптотических разложений излагается весьма перспективный метод разномасштабных разложений. Представляет интерес большое количество примеров построения решений для различных систем уравнений. Книгу можно рекомендовать механикам, физикам, инженерам-исследователям и математикам, интересующимся вопросами применения методов теории возмущений для решения прикладных задач. Она также может быть использована как учебное пособие для студентов старших курсов университетов и технических вузов. Рыжов О.С., из предисловия редактора перевода:’Предлагаемая вниманию читателей книга профессора Калифорнийского технологического института Джулиана Д. Коула посвящена систематическому изложению различных методов теории возмущений, которые являются основным аналитическим инструментом исследования физических и технических задач. Эти методы возникли чрезвычайно давно, и с их помощью было сделано громадное количество открытий в самых разных областях знания. Что касается механики, и в особенности механики сплошных сред, то нелинейность лежащих в ее основе уравнений часто затрудняла использование методов возмущений в их старой формулировке… Хотя прогресс в развитии методов теории возмущений протекал весьма бурно, до последнего времени он совершенно не был отражен в монографической литературе прикладного характера. Лишь в 1964 г. в США вышла книга известного ученого Милтона Ван-Дайка’Методы возмущений в механике жидкости? (в 1967 г. издательством’Мир? был издан ее русский перевод). Книга М. Ван-Дайка написана конспективно, она скорее служит путеводной нитью в изучении предмета, чем введением в этот предмет. Изложение методов теории возмущений, принятое Дж. Д. Коулом, отличается значительно большей детализацией. Хотя рассматриваемый автором круг задач довольно широк, сами задачи принадлежат к числу наиболее простых и типичных в соответствующей области; их выбор отличается большим вкусом. Еще одно существенное различие книг М. Ван-Дайка и Дж. Д. Коула заключается в том, что во второй из них детально рассматривается метод разных масштабов. Возникший в теории нелинейных колебаний и тесно связанный с методами осреднения Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, этот метод нашел чрезвычайно широкое применение в построении асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Для приближенного решения уравнений с частными производными и интегро-дифференциальных он употребляется реже, однако ясно, что в некоторых случаях он должен оказаться эффективнее, чем, например, метод сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений. Это обстоятельство уже проявилось в кинетической теории газов. Стиль изложения Дж. Д. Коула ясный и лаконичный. Автор редко обращается к общим вопросам теории возмущений, предпочитая разбор конкретных задач. Поэтому чисто математических аспектов книга почти не содержит… Большинство разбираемых Дж. Д. Коулом задач взято из различных разделов механики. Это объясняется, с одной стороны, личными интересами автора, а с другой – тем обстоятельством, что решение именно механических задач стимулировало разработку методов возмущений…? Коул Д.Д., из предисловия:’Цель этой книги – дать обзор методов теории возмущений (особенно в применении к дифференциальным уравнениям) и показать на примерах характерные черты, общие для различных задач. Основные идеи, однако, применимы также к интегральным, интегро-дифференциальным и даже к разностным уравнениям… Настоящая книга написана в основном с точки зрения математика-прикладника: внимание в ней в значительно большей степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам математической строгости; при этом использовались самые разнообразные средства. В частности, для выяснения существа различных вопросов часто приходилось обращаться к физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачу и найти нужные приближения… Единственной книгой по теории возмущений, вышедшей к настоящему времени и содержащей некоторые использованные здесь идеи, является известная книга М. Ван-Дайка’Методы возмущений в механике жидкости’. Была предпринята попытка сделать настоящую книгу немного более исчерпывающей, однако круг изучаемых здесь задач пришлось все-таки ограничить в основном областью механики жидкостей. Отметим, однако, что задачи из механики жидкостей довольно удачны для применения методов теории возмущений и позволяют сравнительно легко проиллюстрировать сложные математические вопросы, связанные с широким классом явлений. Конечно, используемый математический аппарат является общим, и нашей целью было продемонстрировать его применение на некоторых подходящих задачах…? Литература по гидромеханике