Endliche Körper: Verstehen, Rechnen, Anwenden

Hans Kurzweil (auth.)3540795979, 978-3-540-79597-1, 978-3-540-79598-8

In jedem Handy, CD-Player und Computer steckt ein Chip, der lineare Gleichungssystem über einem endlichen Körper blitzschnell löst, um fehlerbehaftetes Datenmaterial zu korrigieren; dieses Buch erklärt also das mathematische Innenleben eines solchen Chips. Endliche Körper (sogenannte Galoisfelder) sind Zahlbereiche mit nur endlich vielen Zahlen, die man trotzdem addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Das Hauptanliegen des Buches ist es, auf elementare Weise zu erklären und zu üben, wie diese Rechnungen ausgeführt werden. In der Praxis beruht diese Arithmetik auf der 0,1- Arithmetik des Computers. Ein endlicher Körper mit 2 Elementen besteht aus den bits 0,1; acht bits erklären ein byte, und diese bytes sind die Elemente eines Körpers mit 256 Elementen.

Das Buch wendet sich an jeden, dem die mathematischen Sprache nicht fremd ist und der wissen möchte, wie endliche Körper funktionieren. Vorausgesetzt wird eine gewisse Vertrautheit mit den Grundbegriffen der linearen Algebra, wie sie etwa in einer Vorlesung Ingenieurmathematik geübt werden. Obwohl der Text zielgerichtet ist, bietet er auch eine elementare Einführung in die Algebra, denn endliche Körper können ohne die Begriffe – Gruppe, Vektorraum, Ring, Körper und Polynom – nicht erklärt werden.

Table of contents :
Front Matter….Pages I-XIII
Der Ring der ganzen Zahlen….Pages 1-14
Der Polynomring….Pages 15-37
Die Teilbarkeit….Pages 39-53
Der erweiterte Euklidische Algorithmus….Pages 55-63
Nullstellen von Polynomen….Pages 65-75
Zyklische Gruppen….Pages 77-92
Die multiplikative Gruppe und die diskrete Fouriertransformation….Pages 93-102
Das Rechnen in endlichen Körpern….Pages 103-119
Erweiterungskörper….Pages 121-134
Existenz und Eindeutigkeit von endlichen Körpern….Pages 135-143
Irreduzible Polynome….Pages 145-156
Reed–Solomon Codes….Pages 157-174
Back Matter….Pages 175-178