Введение в теорию кубатурных формул

Соболев С.Л.197-202-203-2

Table of contents :
Титульный лист……Page 1
Аннотация и выходные данные……Page 2
Оглавление……Page 3
Предисловие……Page 7
§ 1. Общие положения. Обратные матрицы……Page 11
§ 2. $(MN)$-преобразование прямоугольных матриц……Page 18
§ 3. Полуобратные матрицы……Page 24
§ 4. Решение систем линейных уравнений……Page 27
§ 5. Эрмитовы и ортогональные матрицы……Page 33
§ 6. Обращение клеточных матриц……Page 40
§ 1. Решетки в $R^n$……Page 46
§ 2. Некоторые ортогонально инвариантные функции решетки……Page 52
§ 3. Построение множества $mathfrak{N}$……Page 56
§ 4. Плотнейшие упаковки для небольших значений $n$……Page 61
§ 1. Классы функций и некоторые функционалы. Понятие локализации……Page 70
§ 2. Основные неравенства……Page 87
§ 3. Линейные функционалы в пространстве $L_p$……Page 92
§ 4. Средние функции. Дальнейшие свойства пространств $L_p$……Page 104
§ 5. Тензоры и тензорные поля……Page 116
§ 6. Обобщенные производные……Page 130
§ 7. Добавление I. Доказательство неравенства (III.5.34)……Page 140
§ 8. Добавление II. Преобразование компонент симметрического тензора……Page 143
§ 1. Неполная локализация некоторых суммируемых функций……Page 146
§ 2. Первообразные функции……Page 153
§ 3. Пространства типа $W$……Page 171
§ 4. Градиентная мажоранта……Page 186
§ 1. Область существования весовых норм для данной функции. Пространства $X_{p,nu}$ и другие……Page 197
§ 2. Теорема о выходе на постоянную……Page 215
§ 3. Теоремы вложения при постоянном $p$……Page 222
§ 4. Плотность финитных функций……Page 232
§ 5. Добавление. Неравенство Харди……Page 238
§ 1. Первая теорема об интегралах типа потенциала……Page 241
§ 2. Вторая теорема об интегралах типа потенциала……Page 247
§ 3. Непрерывность интегралов типа потенциала……Page 251
§ 4. Интегралы с потенциальной мажорантой……Page 260
§ 5. Интегральные представления функций из $W_{mbox{loc}}^{(l)}(R^n)$……Page 262
§ 6. Нормировка пространств $W_p^{(l)}(Omega,rho)$……Page 275
§ 7. Теоремы вложения для конечных областей……Page 278
§ 8. Замыкание множества функций, финитных в конечной области……Page 282
§ 9. Теоремы вложения в неограниченном пространстве……Page 290
§ 10. Умножение функций из пространств $mathring{Y}_{p,nu}^{(l)}$……Page 304
§ 11. Добавление. Неравенство для смешанного тройного скалярного произведения……Page 308
§ 1. Операции над функциями дискретного аргумента……Page 318
§ 2. Свертка функции дискретного аргумента……Page 321
§ 3. Многочлены дискретного аргумента. Ньютоновские степени……Page 325
§ 4. Частное суммирование функций дискретного аргумента……Page 329
§ 5. Разностные операторы. Представимость финитной функции в дивергентной форме……Page 332
§ 6. Интерполяционные пространства……Page 340
§ 7. Некоторые теоремы вложения и плотность множества финитных функций……Page 347
§ 8. Добавление. Интерполятор Рябенького……Page 348
§ 1. Введение……Page 355
§ 2. Линейные пространства сходимости……Page 362
§ 3. Вложения пространств……Page 372
§ 4. Операции над обобщенными функциями……Page 377
§ 5. Произведение обобщенных функций……Page 386
§ 6. Свертка обобщенных функций……Page 394
§ 7. Замена переменных в обобщенных функциях……Page 399
§ 8. $delta$-функции правильных решеток……Page 403
§ 9. Интегро-дифференциальные операторы……Page 406
§ 1. Преобразование Фурье пространства $L_2$……Page 415
§ 2. Преобразование Фурье подпространств $L_2$ с более сильной нормой……Page 425
§ 3. Преобразование Фурье функционалов……Page 430
§ 4. Теорема Винера — Пэли……Page 432
§ 5. Преобразование Фурье пространств $K_0^{(s)}$……Page 436
§ 6. Примеры преобразований Фурье……Page 443
§ 1. Функции периодические и функции, заданные на торе……Page 449
§ 2. Скалярное умножение, умножение и свертка……Page 454
§ 3. Пространства типа $C$, $P$ и $R$……Page 457
§ 4. Операции сопоставления для обобщенных функций……Page 462
§ 5. Примеры……Page 467
§ 6. Функции с произвольными периодами……Page 469
§ 1. Оператор Лапласа в полярных координатах……Page 473
§ 2. Шаровые многочлены и представление Гаусса……Page 475
§ 3. Сферические функции……Page 479
§ 4. Разложения в ряды по сферическим гармоникам……Page 489
§ 5. Преобразование Фурье сферических гармоник……Page 498
§ 6. Регуляризация обобщенных функций……Page 504
§ 1. Формула Грина……Page 514
§ 2. Фундаментальное решение полигармонического уравнения……Page 520
§ 3. Дифференциальные свойства решений полигармонического уравнения……Page 523
§ 4. Поведение полигармонических функций вблизи бесконечно удаленной точки……Page 527
§ 5. Теорема Альманзи и преобразование Кельвина……Page 529
§ 6. Главные решения полигармонического уравнения……Page 536
§ 7. Разложение полигармонических функций по главным решениям……Page 547
§ 8. Полигармонические функции из $W_2^{(m)}$ в окрестности бесконечности……Page 556
§ 9. Краевые задачи для полигармонического уравнения в ограниченной области……Page 558
§ 10 Кельвиновская задача в бесконечной области……Page 569
§ 11. Внешняя вариационная задача для полигармонического уравнения……Page 576
§ 12. Продолжение функции из области $Omega$ на $R^n$ с наименьшей нормой……Page 586
§ 13. Значение функций из $W_p^{(m)}$ точках решетки……Page 592
§ 14. Явный метод регуляризации расходящихся интегралов……Page 596
§ 1. Постановка задачи……Page 606
§ 2. Коэффициенты маклореновского разложения……Page 607
§ 3. Полные множества и их строение……Page 612
§ 4. Локальная теорема о представлении суммой квадратов……Page 617
§ 5. Продолжение краевых значений……Page 620
§ 6. Основная теорема о представлении суммой квадратов……Page 623
§ 7. Разложение в сумму квадратов периодических функций с произвольной матрицей периодов……Page 637
§ 1. Задача интерполирования……Page 645
§ 2. Задача о построении кубатурных формул……Page 650
§ 3. Функциональная постановка задач. Экстремальная функция кубатурной формулы……Page 652
§ 4. Функционал погрешности в $W_2^{(m)}(R^n)$……Page 660
§ 5. Квадрат нормы функционала погрешности……Page 663
§ 6. Уклонение погрешности кубатурной формулы от оптимальной……Page 666
§ 1. Нижняя оценка нормы функционала погрешности……Page 668
§ 2. Приближенная оценка сверху нормы функционала погрешности……Page 673
§ 1. Формулы для периодических функций……Page 683
§ 2. Норма функционала погрешности для периодических функций……Page 687
§ 3. Сложение формул с малыми носителями……Page 690
§ 4. Погрешность на финитных функциях……Page 693
§ 5. Построение формул с регулярным пограничным слоем……Page 703
§ 6. Норма функционала погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем в пространстве $L_2^{(m)}(R^n)$……Page 709
§ 7. Норма погрешности формул с регулярным пограничным слоем в $L_2^{(m)}(Omega)$……Page 719
§ 1. Постановка задачи об оптимальных коэффициентах……Page 722
§ 2. Преобразование Фурье дискретного потенциала……Page 728
§ 3. Свойства оператора $mathfrak{D}_{hH}^{(m)}[beta]cdot$……Page 732
§ 4. Дискретный аналог полигармонического оператора……Page 738
§ 5. Оптимальные коэффициенты одномерных формул……Page 750
§ 1. Функциональный класс $Phi(beta|A)$……Page 755
§ 2. Функциональный класс $Psi(rho|sigma)$……Page 763
§ 3. Кубатурные формулы для бесконечно дифференцируемых функций……Page 770
§ 4. Сходимость кубатурных формул для произвольной функции $phi(x)in L_2^{(m)}$……Page 773
§ 1. Выпуклые многогранники. Формула Эйлера……Page 776
§ 2. Рациональные многогранники……Page 783
§ 3. Структура формул для рациональных многогранников……Page 787
§ 4. Кубатурные формулы для многогранника и его телесных углов……Page 790
§ 5. Формулы с формальным пограничным слоем……Page 791
Литература……Page 798
Предметный указатель……Page 802
Список важнейших обозначений……Page 805
Обложка……Page 809