Курс математического анализа

Немыцкий В., Слудская М., Черкасов А.

Table of contents :
Титульный лист……Page 1
Выходные данные……Page 2
Предисловие……Page 3
ОГЛАВЛЕНИЕ……Page 5
Введение……Page 13
Аксиома Архимеда……Page 14
Определение бесконечной числовой последовательности……Page 15
Геометрическое изображение последовательности……Page 17
Операции над последовательностями……Page 18
Нуль-последовательности……Page 20
Определение фундаментальной последовательности……Page 22
Примеры……Page 23
Ограниченность фундаментальной последовательности……Page 25
Геометрические прогрессии……Page 26
Операции над фундаментальными последовательностями……Page 27
Подпоследовательности и их свойства……Page 30
Задачи и вопросы к главе I……Page 31
Определение действительного числа……Page 32
Упорядоченность множества действительных чисел……Page 34
Сущность алгебраической теории……Page 36
Расположенное поле……Page 37
Архимедовски расположенное поле……Page 38
Понятие об изоморфизме полей……Page 39
Непрерывность поля действительных чисел……Page 41
Единственность расширения поля рациональных чисел до поля действительных чисел……Page 42
Задачи и вопросы к главе II……Page 45
Понятие предела……Page 46
Критерий Коши……Page 47
Возрастающие и убывающие последовательности……Page 50
Число $e$……Page 52
Существование дробной и иррациональной степени……Page 53
Существование логарифма……Page 57
Предел средних арифметических……Page 58
Предел средних геометрических……Page 59
Задачии вопросы к главе III……Page 60
Определение числовой прямой……Page 61
Расположение рациональных и иррациональных точек……Page 62
Непрерывность прямой. Теоремы Кантора и Дедекинда……Page 63
Предельная точка……Page 65
Принцип Больцано-Вейерштрасса……Page 66
Сходящийся ряд и его сумма……Page 68
Критерий Коши……Page 69
Необходимый признак сходимости……Page 71
Принцип сравнения рядов……Page 72
Признак Даламбера……Page 73
Признак Коши……Page 74
Сравнение признаков Даламбера и Коши……Page 75
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница……Page 76
Абсолютно сходящиеся ряды……Page 77
Признаки Куммера и Раабе……Page 78
Задачи и вопросы к главе V……Page 79
Функциональная зависимость……Page 81
Многозначные функции……Page 82
Элементарные функции……Page 83
Функции, заданные несколькими равенствами……Page 84
Функции $|x|$, $sign х$, $Е(х)$……Page 85
Функции целочисленного аргумента……Page 86
Возрастание и убывание функции……Page 87
График функции, заданной аналитически……Page 88
Периодические функции……Page 92
Сложение графиков……Page 93
Умножение графиков……Page 94
Определение взаимно обратных функций……Page 96
Геометрический метод нахождения обратной функции……Page 97
Логарифмическая функция……Page 98
Обратные тригонометрические функции……Page 99
Задачи и вопросы к главе VI……Page 100
Определение предельного значения ( предела )……Page 102
Предельное значение функции по Гейне……Page 104
Критерий Коши……Page 106
Бесконечные предельные значения……Page 107
Предельное значение функции при $xto +infty$ и при $xto -infty$……Page 108
Правое и левое предельные значения……Page 110
Предельное значение для функции целочисленного аргумента……Page 111
Предельное значение (предел) суммы……Page 112
Предельное значение (предел) произведения……Page 113
Предельное значение (предел) частного……Page 114
Определение бесконечно малой функции……Page 116
Отношение двух бесконечно малых функций……Page 117
Порядки бесконечно малых……Page 118
Предел $frac{sin x}{x}$ при $xto 0$……Page 119
Задачи и вопросы к главе VII……Page 120
Непрерывность в точке (по Коши)……Page 121
Функции, непрерывные на интервале и на отрезке……Page 123
Непрерывность и предельное значение……Page 124
Примеры……Page 125
Непрерывность суммы, произведения и частного……Page 127
Непрерывность некоторых элементарных функций……Page 128
Непрерывность сложной функции……Page 130
Верхняя и нижняя грани функции……Page 132
Теорема Вейерштрасса……Page 134
Свойство Дарбу……Page 135
Равномерная непрерывность……Page 136
Непрерывность обратной функции……Page 138
Примеры разрывных функций……Page 139
Классификация точек разрыва……Page 141
Задачи и вопросы к главе VIII……Page 142
Глава IX. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ……Page 143
Примеры……Page 144
Предел функции $(1+x)^{1/x}$ при $xto 0$……Page 145
§2. Примеры на исследование функций……Page 147
Определения……Page 152
Примеры……Page 154
Понятие функциональной последовательности……Page 155
Предельная функция……Page 156
Примеры сходящихся функциональных последовательностей……Page 157
Определение равномерной сходимости……Page 158
Непрерывность предельной функции……Page 160
Критерий Коши……Page 161
Классификация Бэра……Page 163
Определение касательной……Page 164
Уравнение касательной……Page 165
Обозначения производной……Page 168
Метод непосредственного нахождения производных……Page 169
Механический смысл производной……Page 172
Вторая производная и ее механический смысл……Page 175
Правая и левая производные……Page 176
Функции, не имеющие производной ни в одной точке……Page 179
Определение диференциала функции……Page 182
Геометрический смысл диференциала……Page 183
Теорема Ферма……Page 184
Теорема Ролля……Page 185
Разрывы производной……Page 186
§1. Общие замечания……Page 188
Диференцирование степенной функции……Page 189
Дифергнцирование показательной функции……Page 190
Диференцирование логарифмической функции……Page 191
Диференцирование постоянной величины……Page 192
Диференцирование произведения функции на постоянную величину……Page 193
Диференцирование алгебраической суммы……Page 194
Диференцирование произведения……Page 195
Диференцирование частного……Page 197
Производная сложной функции……Page 198
Диференциал сложной функции……Page 200
Логарифмическая производная……Page 201
Производная степенной функции при любом показателе степени……Page 202
Производная от неявной функции……Page 204
Производная от обратной функции……Page 205
Диференцирование обратных тригонометрических функций……Page 206
Таблица производных от элементарных функций……Page 208
Замечание о применимости правил диференцирования……Page 209
Определение и обозначение производных различных порядков……Page 210
Диференциалы различных порядков……Page 212
Формула Лейбница для производной произведения……Page 213
Задачи и вопросы к главе XII……Page 215
Теорема Лагранжа……Page 217
Теорема Коши……Page 218
§2. Нахождение предельных значений («раскрытие неопределенностей»)……Page 219
Правило Лопиталя для неопределенностей вида $frac{0}{0}$……Page 220
Правило Лопиталя для неопределенности вида $frac{infty}{infty}$……Page 223
Сравнение степенной, показательной и логарифмической функций……Page 226
Неопределенности вида $0cdotinfty$……Page 228
Неопределенности вида $0^0$, $1^infty$, $infty^0$……Page 229
Формулы Тейлора и Маклорена для многочлена……Page 231
Формулы Тейлора и Маклорена в общем случае……Page 233
Единственность разложения по формулам Тейлора и Маклорена……Page 235
Разложение функции $sin x$ по формуле Маклорена……Page 237
Разложение функции $cos x$ по формуле Маклорена……Page 238
Общая формула бинома Ньютона и ее приложения……Page 239
Разложение функции $ln(1+x)$ и его применение к вычислению логарифмов……Page 244
Разложение показательной функции……Page 246
Иррациональность числа $e$……Page 247
Задачи и вопросы к главе XIII……Page 248
Глава XIV. ИЗУЧЕНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ……Page 249
Аналитический признак возрастания и убывания……Page 250
Примеры……Page 252
Определения……Page 254
Необходимое условие существования экстремума……Page 255
Достаточные условия существования экстремума……Page 257
Исследования экстремума при помощи второй производной……Page 260
Применение формулы Тейлора к исследованию экстремума……Page 261
Краевой максимум и минимум……Page 265
§3. Применение теории максимума и минимума к решению задач……Page 266
Выпуклость и вогнутость……Page 268
Точки перегиба……Page 270
Исследование выпуклости, вогнутости и точек перегиба при помощи формулы Тейлора……Page 272
Примеры кривых, заданных параметрически……Page 273
Кривая Пеано……Page 275
Исключение параметра……Page 278
Функция, заданная параметрически, и ее производная……Page 279
Касательная к кривой, заданной параметрически……Page 280
§6. Асимптоты……Page 281
Общий план исследования……Page 284
Примеры……Page 285
Задачи и вопросы к главе XIV……Page 292
Определение примитивной……Page 296
Неопределенный интеграл……Page 297
Таблица интегралов……Page 298
Некоторые задачи, приводящие к нахождению примитивных……Page 299
Основные формулы……Page 301
Техника интегрирования……Page 302
Интегрирование методом подстановки……Page 303
Интегрирование по частям……Page 306
О примитивных для разрывных функций……Page 307
Основная теорема……Page 308
Равномерная сходимость последовательности……Page 309
Доказательство основной теоремы……Page 311
§4. Исследование функций, заданных интегралами……Page 312
Задачи к главе XV……Page 314
Глава XVI. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ……Page 315
Вспомогательные леммы……Page 316
Разложение рациональной дроби на элементарные……Page 318
Получение коэфициентов разложения……Page 321
Вычисление интегралов от рациональных функций……Page 327
Метод Эрмита – Остроградского……Page 331
Основы метода рационализации……Page 335
Интегралы, содержащие различные радикалы из дробно-линейной функции……Page 337
Подстановки Эйлера……Page 338
Диференциальный бином……Page 342
Гиперэллиптические интегралы……Page 344
§3. Интегрирование трансцендентных функций……Page 350
Произведение рациональной функции на трансцендентную……Page 351
Произведение рациональной функции на показательную, на синус или на косинус……Page 352
Произведение показательной функции на тригонометрическую……Page 354
Произведение степенной, показательной и тригонометрической функций……Page 355
Тригонометрические интегралы (общий прием)……Page 356
Частные случаи тригонометрических интегралов……Page 359
Формулы приведения для интегралов от тригонометрических функций……Page 360
Задачи к главе XVI……Page 362
Предварительные замечания……Page 366
Классификация Лиувилля для трансцендентных функций……Page 368
Леммы Лиувилля……Page 369
Теорема Лиувилля……Page 371
Теорема Абеля……Page 374
Приложение теоремы Абеля к гиперэллиптическому интегралу……Page 376
Случай, когда под радикалом полином нечетной степени……Page 377
Лемма Чебышева……Page 378
Доказательство неинтегрируемости гиперэллиптического интеграла в элементарных функциях……Page 379
Случай, когда под радикалом полином четной степени……Page 383
Интегральная сумма……Page 384
Определение определенного интеграла……Page 386
Теорема существования определенного интеграла……Page 389
Примеры вычисления определенных интегралов……Page 390
Формула Ньютона-Лейбница……Page 393
Простейшие свойства……Page 395
Диференциал под знаком интеграла……Page 398
Теоремы о среднем значении……Page 399
Приложение к оценке величин определенных интегралов……Page 405
Производная от интеграла по одному из пределов интеграции……Page 406
Производная от интеграла как сложной функции……Page 408
Замена переменного (подстановка) в определенном интеграле……Page 409
Приближенное вычисление примитивных функций с помощью определенных интегралов……Page 411
Выражение остаточного члена формулы Тейлора с помощью определенного интеграла……Page 413
Задачи к главе XVIII……Page 415
Определение длины дуги……Page 416
Свойство спрямляемой дуги……Page 417
Вычисление длины дуги……Page 418
Неспрямляемые кривые……Page 420
Диференциал дуги……Page 422
Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме……Page 423
Длина дуги, заданной в полярных координатах……Page 426
Отношение длины дуги к хорде……Page 427
Определение плоской фигуры и ее площади……Page 428
Свойства квадрируемых фигур……Page 430
Независимость площади от положения фигуры на плоскости……Page 432
Неквадрируемые фигуры……Page 436
Вычисление площадей……Page 438
Площадь, ограниченная кривой, заданной в параметрической форме……Page 443
Площадь в полярных координатах……Page 444
Метод сечений……Page 446
Объем тела вращения……Page 448
Случай, когда кривая задана в параметрической форме……Page 450
§4. Площадь поверхности вращения……Page 451
Задачи и вопросы к главе XIX……Page 454
Алфавитный указатель……Page 457