Курс математического анализа

Немыцкий В.В., Слудская М.И., Черкасов А.Н.

Table of contents :
Титульный лист……Page 1
ОГЛАВЛЕНИЕ……Page 3
Предисловие к третьему изданию……Page 11
1. Примеры функциональных зависимостей……Page 13
2. Обозначение функциональной зависимости……Page 15
4. Аналитическое представление функции……Page 16
5. Функции, заданные несколькими формулами……Page 17
6. Функции $|x|$, $sign(x)$, $Е(х)$……Page 19
7. График функции, заданной аналитически……Page 20
8. Четные и нечетные функции……Page 22
9. Обратные функции……Page 23
10. График обратной функции……Page 25
11. Сложение графиков……Page 26
12. Неявные функции……Page 27
13. Некоторые специальные классы функций. Периодические функции……Page 28
14. Гармоническое колебание……Page 29
15. Функция целочисленного аргумента……Page 31
1. Определение числовой последовательности……Page 32
2. Операции над числовыми последовательностями……Page 33
3. Определение предела……Page 34
4. Предел последовательности ${a^n}$ при $ntoinfty$……Page 37
6. Предел последовательности ${frac{x^n}{n!}}$……Page 38
7. Измерение длин……Page 39
8. Определение действительного числа……Page 41
9. Аксиомы арифметики……Page 43
10. Операции над действительными числами……Page 44
11. Упорядоченность действительных чисел……Page 48
13. Признак полноты в смысле Коши……Page 49
14. Признак полноты в смысле Г. Кантора……Page 51
15. Признак полноты по Дедекинду……Page 53
17. Ограниченные множества……Page 56
18. Возрастающие и убывающие последовательности……Page 58
19. Число $e$……Page 59
20. Существование дробной и иррациональной степени……Page 61
21. Существование логарифма……Page 65
22. Принцип предельной точки……Page 66
23. Предельная точка и предел последовательности……Page 67
1. Предел независимого переменного……Page 70
2. Определение предела функции……Page 72
3. Необходимые и достаточные признаки существования предела функции……Page 75
4. Другие признаки существования предела функции……Page 78
5. Теоремы о пределах……Page 80
6. Непрерывность в точке……Page 83
7. Непрерывность некоторых элементарных функций……Page 85
8. Непрерывность и предельные значения……Page 86
9. Точки разрыва функции……Page 87
11. Функция Дирихле……Page 89
12. Непрерывность суммы, произведения и частного……Page 90
§6. Непрерывные функции на отрезке и их свойства……Page 92
14. Основные теоремы о непрерывных функциях……Page 93
15. Равномерная непрерывность……Page 96
1. Примеры……Page 99
2. Определение бесконечно малых величин……Page 101
3. Порядки бесконечно малых……Page 102
4. Принцип отбрасывания бесконечно малых высших порядков……Page 104
5. Пределы сложных показательных функций……Page 106
6. Пределы некоторых последовательностей……Page 111
7. Примеры……Page 112
1. Скорость неравномерного движения……Page 115
2. Скорость изменения функции и ее физический смысл……Page 117
3. Определение касательной к кривой……Page 119
4. Уравнение касательной……Page 120
5. Определение производной……Page 123
7. Различные обозначения производной……Page 124
9. Производные некоторых элементарных функций……Page 125
10. Пример функции, имеющей бесконечную производную……Page 129
11. Пример функции, имеющей разрывную производную……Page 130
12. Функции, не имеющие производной……Page 131
13…….Page 135
15. Производная произведения функции на постоянную величину……Page 136
17…….Page 137
18. Производная алгебраической суммы……Page 138
19. Производная произведения……Page 139
20. Производная частного……Page 141
21. Производная сложной функции……Page 142
22. Производная сложной функции в случае двух промежуточных аргументов……Page 144
23. Производная обратной функции……Page 145
25. Производная степенной функции при любом показателе степени……Page 147
26. Производные тригонометрических функций……Page 149
27. Производные обратных тригонометрических функций……Page 150
29. Логарифмическая производная……Page 151
30. Сводка формул дифференциального исчисления……Page 152
32. Линейность в малом дифференцируемых функций……Page 153
33. Определение дифференциала функции……Page 156
35. Дифференциал сложной функции. Инвариантность дифференциала……Page 157
37…….Page 159
38. Теорема Дарбу……Page 160
39. Теорема Ролля……Page 161
40. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа)……Page 163
42. Теорема Коши……Page 165
43. Определение и обозначение производных различных порядков……Page 166
44. Формула Лейбница для производной произведения……Page 169
45. Определение дифференциалов высших порядков……Page 171
46. Дифференциалы высших порядков от сложной функции……Page 172
47. Определение конечных разностей……Page 173
48. Определение производных и дифференциалов через конечные разности……Page 174
1. Определение кривых, заданных параметрически……Page 177
2. Разыскание асимптот……Page 179
3. Определение производной……Page 182
5. Производные высших порядков для функций, заданных параметрически……Page 183
6. Правило Лопиталя для неопределенностей вида $frac{0}{0}$……Page 184
7. Правило Лопиталя для неопределенностей вида $frac{infty}{infty}$……Page 188
8. Сравнение степенной, показательной и логарифмической функций……Page 191
10. Неопределенности вида $0cdotinfty$……Page 193
11. Неопределенности вида $0^0$, $1^infty$, $infty^0$……Page 194
12. Пример, показывающей недостаточность правила Лопиталя……Page 196
1. Сходящийся ряд и его сумма……Page 198
3. Необходимый признак сходимости ряда……Page 202
4. Критерий Коши……Page 203
5. Принцип сравнения рядов……Page 204
6. Признаки Даламбера и Коши……Page 205
7. Сравнение признаков Даламбера и Коши……Page 208
8. Ряды с монотонно убывающими членами……Page 209
9. Признак сходимости Куммера……Page 211
11. Вывод различных признаков сходимости из признака Куммера (признак Раабе, признак Гаусса)……Page 213
12. Абсолютная сходимость ряда……Page 216
13. Признак сходимости для знакочередующихся рядов……Page 217
14. Условно сходящиеся ряды. Зависимость суммы ряда от порядка членов……Page 219
15. Преобразование Абеля и его приложение к изучению сходимости рядов……Page 222
16. Сложение рядов……Page 223
17. Умножение рядов……Page 224
18. Определение бесконечного произведения……Page 226
19. Необходимый признак сходимости бесконечного произведения……Page 227
21. Некоторые теоремы о сходимости рядов……Page 228
22. Критерий Коши……Page 230
23. Абсолютно сходящиеся произведения……Page 233
1. Определение степенного ряда. Первая теорема Абеля……Page 235
2. Интервал сходимости……Page 236
3. Гипергеометрический ряд……Page 240
4. Определение радиуса сходимости в общем случае. Верхний предел последовательности……Page 242
5. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда (формула Коши — Адамара)……Page 244
7. Дифференцирование степенного ряда……Page 247
8. Определение аналитической функции……Page 248
9. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций……Page 249
10. Непрерывность функции, представимой степенным рядом……Page 250
2. Теорема единственности……Page 253
3. Представление функции $f(x)$ ее рядом Тейлора……Page 254
4. Проблема вычисления значения функции……Page 257
5. Остаточный член и его выражение через производную……Page 258
7. Достаточные условия представимости функции рядом Тейлора……Page 260
8. Разложение в степенной ряд $sin x$ и $cos x$……Page 261
9. Разложение показательной функции $e^x$……Page 263
10. Общая формула бинома Ньютона и ее приложения……Page 264
11. Разложение функции $ln(1+x)$ и его применение к вычислению логарифмов……Page 268
12. Ряды для вычисления $arctg x$ и $arcsin х$……Page 271
2. Аналитический признак возрастания и убывания……Page 275
3. Примеры……Page 277
4. Возрастание и убывание функции в точке……Page 278
5. Определения……Page 280
7. Достаточные условия существования экстремума……Page 282
8. Применение формулы Тейлора для исследования экстремума……Page 286
9. Абсолютный экстремум функции……Page 288
10. Применение теории максимума и минимума к решению задач……Page 289
11. Приложение теории максимумов и минимумов к доказательству некоторых неравенств……Page 292
13. Аналитический признак выпуклости и вогнутости……Page 295
14. Точки перегиба……Page 300
15. Применение формулы Тейлора для разыскания точек перегиба……Page 301
16. Общий план исследования……Page 302
17. Гиперболические функции……Page 303
18. Обратные гиперболические функции……Page 305
1. Определение первообразной……Page 310
2. Неопределенный интеграл……Page 311
4. Определение первообразной по начальным условиям……Page 312
5. Вычисление площадей……Page 316
6. Свойства неопределенного интеграла……Page 317
8. План изложения методов интегрирования……Page 319
9. Применение формулы интеграла суммы к нахождению первообразной……Page 320
10. Интегрирование методом подстановки……Page 321
11. Интегрирование по частям……Page 324
12. Простейшие интегралы от рациональных функций……Page 326
13. Интегрирование простейших иррациональных функций……Page 331
14. Разложение рациональной дроби на элементарные……Page 335
15. Вычисление коэффициентов разложения……Page 342
16. Вычисление интегралов от рациональных функций……Page 349
17. Метод М. В. Остроградского……Page 350
18. Методы рационализации……Page 356
19. Интегралы, содержащие радикалы только от независимого переменного……Page 357
20. Интегралы, содержащие различные радикалы из дробно-линейной функции……Page 358
21. Подстановки Эйлера……Page 359
22. Геометрическое истолкование подстановок Эйлера……Page 361
23. Биномиальные дифференциалы……Page 363
24. Подстановка $u=tg{frac{x}{2}}$……Page 366
25. Некоторые дополнительные подстановки……Page 367
26. Формулы приведения для интегралов от тригонометрических функций……Page 370
27. Вывод формул приведения……Page 371
28. Вычисление интеграла $intphi(x) (x-m)^k dx$……Page 372
29. Вычисление интеграла $intfrac{phi(x)}{(x-m)^k} dx$……Page 373
1. Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла……Page 375
2. Теорема существования определенного интеграла……Page 377
3. Верхние и нижние суммы……Page 380
4. Примеры вычисления определенных интегралов……Page 382
5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости……Page 385
6. Интегрируемость функций с конечным числом точек разрыва……Page 387
7. Интегрируемость монотонных функций……Page 388
8. Основные свойства определенного интеграла……Page 390
9. Теоремы о среднем значении……Page 394
10. Определенный интеграл как функция верхнего предела интеграции……Page 401
11. Производная определенного интеграла по верхнему пределу……Page 402
12. Формула Ньютона — Лейбница……Page 404
13. Формула Ньютона — Лейбница для разрывных функций……Page 405
14. Производная от интеграла как сложной функции……Page 406
15. Замена переменного (подстановка) в определенном интеграле……Page 407
17. Выражение остаточного члена формулы Тейлора с помощью определенного интеграла……Page 409
19. Исследование функций, заданных интегралами……Page 411
1. Определение длины дуги……Page 414
2. Свойства спрямляемой дуги……Page 415
3. Вычисление длины дуги……Page 416
4. Неспрямляемые кривые……Page 417
5. Дифференциал дуги……Page 421
6. Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме……Page 422
7. Длина дуги, заданной в полярных координатах……Page 426
8. Площадь криволинейной трапеции……Page 427
9. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме……Page 431
10. Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями……Page 432
11. Площадь в полярных координатах……Page 433
12. Метод сечений……Page 436
13. Объем тела вращения……Page 437
15. Вычисление площади поверхности вращения……Page 441
17. Теорема об обобщенной интегральной сумме……Page 445
18. Вычисление давления жидкости на плоскую пластинку……Page 446
19. Вычисление работы……Page 448
2. Формула трапеций……Page 452
3. Формула Симпсона……Page 454
4. Приближенное вычисление первообразных……Page 457
1. Определение и примеры……Page 460
2. Признаки абсолютной сходимости и расходимости несобственных интегралов……Page 464
3. Признак сходимости для условно сходящихся интегралов……Page 467
4. Интегральный признак Коши……Page 468
5. Определение несобственного интеграла……Page 471
6. Интегралы $intlimits_0^b frac{dx}{(b-x)^alpha}$……Page 473
7. Признаки сходимости……Page 474
8. Свойства несобственных интегралов……Page 476
9. Замена переменного в несобственных интегралах……Page 480
Предметный указатель……Page 483
Указатель обозначений……Page 487
Выходные данные……Page 488