Курс математического анализа

Камынин Л.И.5211044835

Table of contents :
Титульный лист……Page 1
Выходные данные……Page 2
Предисловие……Page 3
§1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики……Page 5
Законы алгебры множеств……Page 7
Некоторые понятия математической логики……Page 12
§2. Понятия отображения функции……Page 14
Основные соотношения для образов и полных прообразов……Page 18
§3. Счетные и несчетные множества……Page 22
Теорема о счетности объединения счетного множества счетных множеств……Page 23
Теорема Кантора о существовании несчетного множества……Page 24
Принцип математической индукции……Page 25
Определение поля……Page 26
Определение упорядоченного поля……Page 27
Теорема Архимеда для поля рациональных чисел……Page 30
Определение полного упорядоченного поля……Page 31
Теорема о неполноте поля рациональных чисел……Page 32
Теорема о неограниченности сверху множества N в R……Page 33
Теорема о плотности Q в R……Page 34
Принцип полноты Дедекинда……Page 35
Теорема о справедливости принципа Вейерштрасса в архимедовом упорядоченном поле с принципом Кантора……Page 36
Теорема о несчетности множества действительных чисел……Page 38
§1. Топология числовой прямой……Page 39
§2. Понятие предела функции в точке……Page 48
§3. Теоремы о пределах функций и последовательностей……Page 51
Теорема 1 о знаке для функции, имеющей предел……Page 52
Теорема 2 о переходе к пределу в неравенстве……Page 53
Теорема о представлении функции, имеющей предел……Page 54
Теорема о пределе произведения локально ограниченной функции на функцию бесконечно малую……Page 55
Теорема о пределе произведения функций……Page 56
Теорема о предельном переходе в неравенстве для функций, имеющих пределы……Page 58
Критерий сходимости монотонной последовательности……Page 59
Формула бинома Ньютона……Page 60
Теорема об оценочном признаке существования предела функции в точке……Page 61
Теорема о пределе отношения синуса бесконечно малого аргумента к аргументу……Page 62
Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций……Page 63
Критерий существования предела функции в точке……Page 64
Теорема о существовании односторонних пределов у монотонной функции……Page 65
Теорема о пределе композиции двух функций……Page 67
§5. Предел по Коши и предел по Гейне функции в точке……Page 68
Число «е»……Page 69
Теорема Кантора о стягивающейся системе отрезков……Page 71
Теорема Больцано – Вейерштрасса (для числовых последовательностей)……Page 72
Лемма Бореля – Лебега (о компактности отрезка)……Page 73
Критерий существования предела числовой последовательности……Page 74
Теорема о свойствах множества точек сгущения ограниченной последовательности……Page 75
Критерий Коши существования предела у числовой последовательности……Page 77
Критерий Коши существования предела функции в точке……Page 78
§8. Сравнение асимптотического поведения функций……Page 79
Теорема о свойствах символа $O$ большого……Page 80
Теорема о свойствах символа $o$ маленького……Page 81
Теорема о пределе частного для эквивалентных функций……Page 84
Таблица разложений простейших элементарных функций……Page 85
§9. Предел числовой функции по базе……Page 86
Теорема о пределе суммы……Page 87
Теорема о существовании верхнего и нижнего предела функции по базису фильтра……Page 88
Критерий Коши существования предела числовой функции по базису фильтра……Page 89
Теорема о пределах функции по эквивалентным базисам……Page 91
§1. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции……Page 93
Предельный критерий непрерывности функции в точке……Page 94
Критерий непрерывности Бэра……Page 97
Теорема о локальной ограниченности функции, непрерывной в точке……Page 98
Теорема о непрерывности произведения непрерывных функций……Page 99
Теорема о непрерывности композиции двух непрерывных функций……Page 100
Теорема о структуре связного числового множества……Page 101
Теорема о нуле непрерывной функции……Page 102
Теорема Больцано о промежуточных значениях непрерывной функции……Page 103
Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке……Page 104
Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции……Page 105
Критерий непрерывности монотонной функции……Page 106
Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке……Page 107
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции для строго монотонной непрерывной функции……Page 109
Теорема об общем виде гомеоморфизма……Page 110
Теорема о степенной функции с отрицательным натуральным показателем……Page 112
Теорема о показательной функции на множестве Q……Page 114
Теорема о показательной функции, определенной на R……Page 115
Теорема о степенной функции с действительным показателем……Page 118
Теорема об обратных тригонометрических функциях……Page 119
§1. Дифференцируемость функции в точке……Page 122
§2. Производная функции в точке……Page 124
Критерий дифференцируемости функции в точке……Page 125
Критерий существования производной……Page 126
§3. Касательная к графику функции……Page 127
Теорема о касательной как предельном положении секущей……Page 128
Теорема о производной суммы, произведения, частного……Page 129
Теорема о дифференцируемости композиции дифференцируемых функций……Page 130
Теорема о производной обратной функции……Page 131
§5. Производные элементарных функций……Page 132
§6. Производные и дифференциалы высших порядков……Page 133
Формула Лейбница……Page 134
§7. Теоремы о конечных приращениях……Page 137
Теорема Ферма……Page 138
Теорема Ролля……Page 139
Теорема (обобщенная теорема Ролля)……Page 141
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)……Page 143
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)……Page 144
Таблица основных асимптотических разложений для простейших элементарных функций……Page 145
Теорема Коши о конечных приращениях……Page 146
Теорема 1 (правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида 0/0)……Page 147
Теорема 2 (правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида $infty/infty$)……Page 148
§9. Свойства производных дифференцируемых функций……Page 155
Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной……Page 156
Теорема о пределе производной……Page 157
Теорема (формула Тейлора для многочлена)……Page 158
Теорема единственности многочлена Тейлора……Page 159
Теорема (о формуле Тейлора)……Page 161
Теорема 1 (критерий монотонности функции)……Page 163
Теорема 3 (критерий строгой монотонности функции, имеющей производную)……Page 164
Теорема (достаточный признак существования локального экстремума)……Page 165
Следствие 1 (достаточный признак существования локального экстремума – по знаку 1-й производной)……Page 166
Следствие 2 (достаточное условие существования локального экстремума – по монотонности 1-й производной)……Page 167
Теорема (достаточное условие существования локального экстремума и монотонности в точке по производным высшего порядка)……Page 168
§3. Направление выпуклости……Page 170
Теорема 1 (достаточный признак выпуклости функции в точке и существования точки перегиба у ее графика – по 1-й производной)……Page 171
Теорема 2 (достаточный признак выпуклости функции в точке и существования точки перегиба у ее графика по производным высшего порядка)……Page 172
Следствие 2 (достаточный признак строгой выпуклости функции в точке – по 2-й производной)……Page 173
Теорема (критерий выпуклости вниз для дифференцируемой функции)……Page 177
Следствие (критерий выпуклости вниз для дважды дифференцируемой функции)……Page 178
Теорема (неравенство Йенсена)……Page 179
Теорема об общем виде точной первообразной……Page 180
Теорема об общем виде первообразной……Page 182
§5. Центр кривизны, радиус кривизны и кривизна графика функции……Page 183
Теорема (формулы для вычисления координат центра кривизны)……Page 184
Кривизна и эволюта параболы……Page 186
Литература……Page 188
§1. Неопределенный интеграл……Page 189
Теорема о линейности операции интегрирования……Page 192
Теорема 1 о замене переменной в неопределенном интеграле……Page 193
§3. Таблица основных неопределенных интегралов……Page 194
§1. Определение интеграла Римана……Page 196
Теорема единственности интеграла Римана……Page 197
Теорема о необходимом условии интегрируемости по Риману……Page 198
§2. Суммы Дарбу и критерий Дарбу интегрируемости по Риману……Page 199
Теорема о формулах Дарбу……Page 200
Теорема 1 о свойствах сумм Дарбу……Page 201
Теорема о предельном критерии интегрируемости по Риману……Page 202
Теорема о критерии Дарбу интегрируемости по Риману……Page 203
Теорема о критерии интегрируемости по Риману……Page 204
Теорема о мере счетного множества множеств меры нуль……Page 205
Теорема о длине отрезка……Page 206
Теорема о компактности замкнутого ограниченного числового множества……Page 207
Теорема о компактности границы ограниченного множества……Page 208
§4. Критерий Лебега интегрируемости по Риману……Page 209
Теорема о колебаниях функции……Page 210
Теорема о критерии Лебега интегрируемости по Риману……Page 211
Следствие 2 об интегрируемости монотонной функции……Page 214
Теорема о критерии измеримости по Жордану……Page 215
Теорема об эквивалентности двух определений множества длины нуль……Page 216
Теорема о свойствах множеств, измеримых по Жордану……Page 217
Теорема 1 (об интегрируемости суммы)……Page 218
Теорема 3 (об интегрируемости частного)……Page 220
Теорема 5 (об аддитивности интеграла)……Page 221
Теорема 8 (об оценке интеграла)……Page 222
Теорема 9 (о множестве точек непрерывности интегрируемой функции)……Page 223
Теорема 12……Page 224
Теорема (1-я обобщенная теорема о среднем)……Page 226
1-я теорема о среднем……Page 227
Лемма (тождество Абеля)……Page 228
Следствие (к тождеству Абеля)……Page 229
2-я интегральная теорема о среднем……Page 230
Теорема о дифференцируемости интеграла Римана по верхнему пределу……Page 233
Теорема (формула Ньютона – Лейбница для кусочно-непрерывной функции)……Page 234
Теорема (формула Ньютона – Лейбница……Page 236
Теорема 1 (о замене переменной в интеграле Римана)……Page 237
Теорема 2 (о замене переменной в интеграле Римана)……Page 238
Теорема о среднем в интегральной форме……Page 240
Теорема 1 (об интегрировании по частям)……Page 241
Теорема 2 (об интегрировании по частям)……Page 242
2-я теорема о среднем……Page 243
§7. Понятие о мере множеств. Длина числового множества как мера. Площадь криволинейной трапеции……Page 245
Площадь криволинейной трапеции……Page 246
Объем тела вращения……Page 248
Работа переменной силы……Page 249
Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме……Page 250
§1. Линейные, евклидовые, нормированные и метрические пространства……Page 254
Теорема (неравенство Минховсхого)……Page 256
§2. Дифференцирование и интегрирование (векторных) функций одного действительного переменного……Page 258
Теорема 3 об оценке нормы интеграла от (векторной) функции через интеграл от нормы этой функции……Page 259
§3. Векторные функции ограниченной вариации……Page 261
Теорема о полной вариации суммы и произведения функций……Page 262
Теорема Жордана……Page 263
Теорема 1 (о свойствах векторной функции ограниченной вариации)……Page 264
Теорема 2 (об аддитивности полной вариации)……Page 265
Теорема 3……Page 266
§4. Пути и кривые в $R^n$……Page 267
Теорема (критерий спрямляемости замкнутого пути)……Page 272
Теорема (об инвариантности длины для эквивалентных путей)……Page 273
Натуральная параметризация кривой……Page 274
§6. Касательная к кривой в $R^n$……Page 275
Теорема о локальной взаимнооднозначности……Page 276
Замечание о вычислении площади поверхности вращения……Page 278
§7. Топология метрического пространства……Page 279
Теорема об эквивалентных нормах……Page 285
Теорема об эквивалентности норм $|| ||_1$, $|| ||_2$ и $|| |_infty$ в $R^n$……Page 286
Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности)……Page 287
Теорема о сходимости последовательности Коши, имеющей точку сгущения……Page 288
Теорема о пределе последовательности в пространствах с эквивалентными нормами……Page 289
Теорема (о полноте $R^n$)……Page 290
Теорема о единственности предела……Page 291
Теорема о пределах……Page 292
Теорема (достаточное условие существования повторного предела……Page 294
§9. Непрерывные отображения в метрических пространствах……Page 295
Теорема (предельный критерий непрерывности отображения в точке)……Page 296
Теорема (критерий непрерывности отображения, определенного на открытом множестве)……Page 297
§10. Компактность в метрических пространствах……Page 298
Теорема (о компактности объединения конечного числа компактных множеств)……Page 299
Теорема о секвенциальной компактности компактного множества……Page 300
Теорема о замкнутости секвециально компактного множества……Page 302
Теорема о компактности секвенциально компактного множества в метрическом пространстве……Page 303
Теорема Больцано – Вейерштрасса……Page 304
Теорема (критерий компактности в полном метрическом пространстве)……Page 305
Теорема (критерий существования предела последовательности в декартовом произведении метрических пространств)……Page 306
Теорема Бореля – Лебега……Page 308
§11. Связность в метрических пространствах……Page 309
Теорема о сохранении связности при непрерывном отображении……Page 310
Теорема Больцано о промежуточных значениях непрерывной числовой функции……Page 311
Теорема о связности линейно связного множества……Page 312
Теорема (критерий связности открытого множества в $R^n$)……Page 313
Теорема о сохранении компактности при непрерывном отображении……Page 315
Замечание о положительно определенной квадратической форме……Page 316
Теорема о расстоянии точки до замкнутого множества……Page 317
Теорема Кантора о равномерной непрерывности……Page 318
§13. Сжимающие отображения в метрических пространствах……Page 319
Теорема о принципе сжимающих отображений……Page 320
§1. Частные производные функций многих переменных……Page 321
Теорема о частных производных композиции……Page 324
Теорема Шварца (достаточное условие равенства смешанных частных производных второго порядка)……Page 325
§2. Некоторые сведения из линейной алгебры……Page 327
Теорема о равномерной непрерывности линейного отображения……Page 329
Теорема о норме линейных отображений……Page 330
Лемма Неймана……Page 331
Теорема (о линейном возмущении)……Page 332
§3. Понятие дифференцируемости отображения из $R^n$ в $R^m$……Page 333
Теорема (о непрерывности дифференцируемой функции)……Page 336
Теорема (о представлении производной дифференцируемой функции в координатной форме)……Page 337
Теорема (критерий дифференцируемости векторной функции в точке)……Page 339
Теорема Юнга (достаточное условие равенства вторых смешанных частных производных у функции многих переменных)……Page 340
Теорема (критерий непрерывной дифференцируемости функции на открытом множестве)……Page 342
Уравнение касательной гиперплоскости к графику функции……Page 344
Градиент функции……Page 345
О производной Гато……Page 346
Теорема (о производной сложной функции)……Page 351
Следствие 2 (теорема о полной производной сложной функции)……Page 354
Теорема о линейности дифференцирования……Page 355
Замечание (об инвариантности формы первого дифференциала)……Page 356
Теорема (об обратной биекции)……Page 357
Теорема (о среднем для числовой функции многих переменных)……Page 358
Теорема (о среднем для отображений из $R^n$ в $R^m$)……Page 359
Теорема (об оценке)……Page 361
§6. Формула Тейлора для (векторных) функций……Page 362
Теорема (формулы Тейлора для числовой функции многих переменных)……Page 365
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)……Page 368
Теорема (формулы Тейлора для векторных функций)……Page 369
Следствие (теорема о среднем для векторной функции в интегральной форме)……Page 370
Лемма (критерий постоянства дифференцируемой функции на открытом связном множестве)……Page 371
Теорема (необходимое условие существования локального экстремума для дифференцируемой функции)……Page 372
Лемма (о положительно определенной хвадратической форме)……Page 373
Теорема (достаточное условие существования локального экстремума для дважды дифференцируемой функции)……Page 375
Теорема (об уточненном принципе сжимающих отображений)……Page 377
Теорема (о нелинейном возмущении)……Page 378
Следствие (теорема о локальном гомеоморфизме)……Page 379
Теорема (о локальном диффеоморфизме)……Page 380
Следствие……Page 382
§9. Неявные функции……Page 383
Теорема (о неявной функции в случае $n geq 1$ и $m = 1$)……Page 384
Теорема (о неявной функции в случае $n geq 1$ и $m geq 2$)……Page 387
Замечание (о вычислении частных производных неявной функции)……Page 392
Основная теорема о неявной функции……Page 393
Следствие 2……Page 398
Следствие 3 (теорема о неявных функциях, определяемых системой уравнений)……Page 399
Теорема (о существовании касательной плоскости)……Page 400
Теорема 1 (необходимое условие существования локального условного экстремума)……Page 403
Замечание (о собственных значениях хвадратической формы)……Page 405
Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций)……Page 407
Теорема 2 (достаточное условие зависимости функций)……Page 408
§12. Разбиение единицы……Page 410
Лемма 1……Page 412
Лемма 2……Page 414
Теорема (о разбиении единицы, индуцированном диффеоморфизмом)……Page 418
Литература……Page 420
ОГЛАВЛЕНИЕ……Page 421
Выходные данные……Page 432
Обложка……Page 433