Теория узлов

Мантуров В.О.

Теория узлов играет видную роль в современной математике. Наиболее яркие результаты в этой теории были получены в последние несколько десятилетий. Одним из важных открытий в теории узлов является предложенная Луисом Кауфманом в 1996 году теория виртуальных узлов. Настоящая монография посвящена современному состоянию теории узлов с особенным уклоном в сторону виртуальных узлов. Целью настоящей монографии является описание основных конструкций современной теории узлов и ознакомление читателя с передним краем научных исследований в этой области. С другой стороны, первые несколько глав содержат все основные понятия «старой теории узлов» с полными и подробными доказательствами, так что книга будет полезна не только профессионалам, но и начинающим. В настоящей книге мы описываем как «старую» теорию узлов, так и новейшие результаты. Центральное место в книге занимает теория виртуальных узлов, предложенная Луисом Кауфманом. Болыпая часть книги посвящена результатам автора в теории виртуальных узлов.Книга разделена на тематические части. Первая из них описывает достижения в теории узлов, предгпествующие инвариантам Васильева. Вторая часть посвящена теории кос. Третья часть посвящена теории инвариантов Васильева. Четвертая глава посвящена способу кодирования узлов посредством атомов и d-диаграмм, предложенному автором. Пятая — центральная — часть книги посвящена теории виртуальных узлов, предложенной Кауфманом. Последняя часть содержит введение в теорию инвариантов трехмерных многообразий — инвариантов Виттена-Регпетихина-Тураева. Математический материал подан достаточно замкнуто монография является вполне доступной для широкого круга читателей, желающих ознакомиться с современным состоянием теории узлов «от самого начала». Она полезна для специалистов по теории узлов, алгебраической топологии, комбинаторике, теории представлений групп и алгебр Ли.

---

Table of contents :
Предисловие.
Предисловие автора.
Узлы, зацепления и инвариантные полиномы.
Введение.
Движения Рейдемейстера и арифметика узлов.
Зацепления в двумерных поверхностях в R.
3. Простейшие инварианты зацеплений.
Фундаментальная группа.
Дистрибутивные группоиды и алгебры Конвея.
Подход Кауфмана к полиному Джонса.
Полином Джонса. Комплекс Хованова.
Теория кос.
Косы, зацепления и представления.
Косы и зацепления.
Алгоритмы распознавания кос.
Теорема Маркова.
Инварианты Васильева.
Основные понятия.
Алгебра хордовых диаграмм.
Интеграл Концевича.
Атомы и d-диаграммы.
Атомы, высотные атомы и узлы.
Скобочная полугруппа узлов.
Виртусшьные узлы.
Основные определения.
Инвариантные полиномы виртуальных узлов.
Обобщения полинома Джонса—Кауфмана.
Комплекс Хованова для виртуальных узлов.
Длинные виртуальные узлы.
Виртуальные косы.
Другие теории.
Трехмерные многообразия и узлы.
Лежандровы узлы и их инварианты.
Независимость преобразований Рейдемейстера.
Инварианты Васильева виртуальных зацеплений.
Подход Гусарова-Поляка-Виро.
Подход Кауфмана.
Некоторые наблюдения.
Инварианты Васильева виртуальных зацеплений.
Инварианты Васильева, происходящие от S.
Алгоритмическое распознавание виртуальных зацеплений.
Энергия узла.
Максимумы критических коэффициентов полинома Джонса—Кауфмана.
Вычисление значений функции Fi.
Нерешенные проблемы в теории узлов.
Таблица узлов.
Литература.
Предметный указатель.