НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ КОНСЕРВАТИВНОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП

Чеботарев А.М.

Понятие динамической полугруппы является квантовомеханическим обобщением понятия марковской полугруппы, используемого в теории случайных процессов.Пусть $mathscr H$ — гильбертово пространство и $mathscr A$ — алгебра фон Неймана. Динамической полугруппой $P_t$ называется $sigma$-слабо непрерывная однопараметрическая полугруппа вполне положительных отображений алгебры $mathscr A$ в себя. Полугруппа $P_t$, обладающая свойством сохранения единицы $Iinmathscr A$ называется консервативной, а ее инфинитезимальный оператор $L[ cdot ]$-регулярным. В статье изучаются необходимые и достаточные условия консервативности сильно непрерывных динамических полугрупп. Показано, что при некоторых дополнительных предположениях необходимое и достаточное условие консервативности формулируется аналогично феллеровскому условию регулярности диффузионного процесса: уравнение $P=L[P]$ не имеет решений в $mathscr A_+$. С помощью неравенства иенсеновского типа для вполне положительных отображений получены конструктивные достаточные условия консервативности, имеющие вид неравенств для коммутаторов. Сужение динамической полугруппы на абелеву подалгебру $mathscr L_infty(mathbb R^n)$ дает ряд новых условий регулярности как для диффузионных, так и для скачкообразных процессов.