Элементарная математика в современном изложении

Люсьенн Феликс

Table of contents :
ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ……Page 23
1. Первоначальные определения……Page 24
2. Отношения эквивалентности……Page 26
3. Отношение порядка……Page 28
4. Операции……Page 29
II. Числа……Page 32
Отношение порядка……Page 33
Вполне упорядоченные множества……Page 35
Умножение……Page 38
Множество N натуральных чисел является архимедовым множеством……Page 41
Понятие изоморфизма двух структур……Page 42
Расширение путем симметризации……Page 43
3. Дроби и рациональные числа……Page 48
Дроби……Page 49
Рациональные числа……Page 51
Множество рациональных чисел как расширение множества целых чисел……Page 52
4. Понятие о вещественных числах……Page 55
Введение квадратных корней……Page 56
Аксиома полноты……Page 57
Свойства множества вещественных чисел……Page 59
Множество Q рациональных чисел как подмножество множества R вещественных чисел……Page 60
Векторы. Векторные операции……Page 61
Векторные пространства……Page 64
Точечное пространство как образ векторного пространства……Page 69
Определение……Page 72
Группы отображений множества на себя……Page 75
Терминология……Page 77
Трансформирование одного точечного преобразования другим……Page 78
Определение……Page 79
Возрастание и убывание числовой функции в области ее определения……Page 82
Окрестности……Page 83
Пределы……Page 86
2. Локальное исследование числовой функции……Page 87
Основные теоремы……Page 91
Приложения к непрерывным дифференцируемым функциям……Page 94
Расширение понятий окрестности и предела……Page 97
1. Определение евклидовых метрических пространств……Page 98
Введение метрики……Page 99
Приложения к точечному двумерному пространству……Page 102
Метрическая геометрия в трехмерном пространстве……Page 109
Ориентация метрических пространств двух и трех измерений……Page 111
2. Произведения векторов в трехмерном пространстве……Page 112
Скалярное произведение……Page 113
Векторное произведение (3-мерная геометрия)……Page 115
Тригонометрические обозначения……Page 117
Косинус и синус упорядоченной пары единичных векторов……Page 119
Конгруэнтность пар векторов. Углы……Page 120
Углы и хорды……Page 123
Предел отношения длины хорды единичного круга к мере ср центрального угла……Page 125
Приближенное вычисление числа pi……Page 126
1. Алгебра множеств……Page 128
Определения……Page 133
Естественная мера на вещественной прямой……Page 134
Меры в пространстве двух измерений……Page 136
Меры в трехмерном пространстве……Page 141
Длины кривых. Площади кривых поверхностей……Page 142
Меры на множестве событий……Page 144
Вероятности (случай конечных множеств)……Page 146
Непрерывные вероятности (случай бесконечных множеств)……Page 149
1. Евклидово деление……Page 152
2. Делимость. Сравнения……Page 154
Кратные и делители целого числа……Page 157
Основная теорема……Page 160
Приложения. Общие кратные и общие делители……Page 161
4. Изучение простых чисел……Page 164
Позиционный принцип нумерации……Page 166
Практические правила операций……Page 167
Признаки делимости……Page 171
Алгоритм Евклида во множестве натуральных чисел……Page 173
Алгоритм Евклида во множестве величин……Page 177
II. Дроби. Рациональные числа. Десятичные дроби……Page 182
Дроби……Page 183
Десятичные дроби……Page 184
Кольцо десятичных дробей в поле рациональных чисел……Page 185
1. Мощности подмножеств множества вещественных чисел……Page 190
Счетные подмножества……Page 191
Мощность континуума……Page 192
Дополнительные сведения о кардинальных (количественных) числах……Page 195
2. Логарифмы. Обобщение понятия показателя степени……Page 197
Определение многочлена……Page 203
Числовые значения многочлена. Делимость на x-a……Page 208
Деление в кольце многочленов……Page 212
Рациональные дроби от одного неизвестного……Page 220
Многочлены и рациональные дроби от нескольких неизвестных……Page 222
Замечание о применении тригонометрии к алгебраическим задачам……Page 224
Определения……Page 227
Равносильность (эквивалентность) уравнений……Page 228
Классические уравнения и системы……Page 231
I. Локальное исследование числовой функции одной переменной……Page 237
Вычисление пределов……Page 238
Вычисление производных……Page 241
Бесконечные пределы. Неопределенные выражения……Page 249
Прямое исследование……Page 252
Следствия из локальных гипотез во всех точках интервала……Page 253
Глобальное исследование……Page 255
Локальное исследование……Page 256
Исследование бесконечных ветвей……Page 260
Понятие о дифференциальной геометрии плоских кривых. Кинематика……Page 263
Специальные виды функций……Page 268
Применение исследования функций к решению уравнений……Page 276
Общая первообразная некоторой функции……Page 279
Геометрическая интерпретация первообразных……Page 282
Существование первообразных. Первообразная функция 1/х……Page 284
VI. Комплексные числа……Page 286
Исторические сведения……Page 287
Поле комплексных чисел……Page 291
Числовые функции комплексного переменного……Page 296
Обзор приложений комплексных чисел……Page 301
ГЕОМЕТРИИ……Page 305
Геометрия плоскости (геометрия двух измерений)……Page 307
Геометрия трехмерного пространства R3……Page 311
Теория центра тяжести (барицентра)……Page 313
Общее аффинное преобразование……Page 316
Частные случаи аффинных преобразований……Page 318
3. Линейные преобразования. Понятие о матрицах торая глава. Понятия проективной геометрии……Page 331
II. Понятия проективной геометрии……Page 340
Перспективное отображение плоскости на плоскость……Page 341
Инвариант коллинеарных точек……Page 344
Введение координат в проективной геометрии……Page 348
Проективные преобразования плоскости (коллинеации)……Page 350
Гармоническое деление. Гармонические пучки……Page 351
Очерк прямого аксиоматического введения проективной геометрии……Page 355
Соотношения между длинами……Page 362
Метрическая аналитическая геометрия на плоскости……Page 365
Метрические соотношения, содержащие тригонометрические функции……Page 367
Окружность и углы……Page 369
Степень точки относительно окружности……Page 375
Семейства окружностей……Page 379
Понятие о преобразовании методом взаимных поляр……Page 383
3. Точечные преобразования метрической геометрии……Page 384
Аффинные преобразования в метрической геометрии……Page 385
Перемещения и антиперемещения……Page 386
Подобие……Page 405
Инверсия как преобразование в метрической геометрии……Page 409
Понятие о круговой геометрии……Page 419
III. Понятие о метрических неевклидэвых геометриях……Page 424
Предварительные сведения……Page 425
Геометрия Лобачевского……Page 431
Модель Пуанкаре для геометрии Лобачевского (на плоскости)……Page 440
Сферическая геометрия, модель геометрии Римана……Page 444
Определение конических сечений на конусе вращения……Page 450
Конические сечения в аналитической геометрии. Степень уравнения……Page 456
Аффинные свойства центральных конических сечений……Page 462
Конические сечения в проективной геометрии……Page 464
Тангенциальная точка зрения……Page 466
Дополнения……Page 468
Предметный указатель……Page 6