Variational methods: applications to nonlinear PDEs and Hamiltonian systems

Michael Struwe9783540664796, 3540664793

b>Aus der Amazon.de-Redaktion Das Buch bietet eine ausgezeichnete, klar dargestellte Übersicht über einige Gebiete der modernen Variationsrechnung. Das erste Kapitel behandelt direkte Methoden der Variationsrechnung, welche die Existenz des Minimums eines Variationsproblems sicherstellen sollen, verschiedene Kompaktheitsbegriffe sowie das Ekelandsche Prinzip. Als Anwendungen kommen nichtlineare elliptische Differenzialgleichungen, Existenzsätze aus der Elastizitätstheorie, das Plateau Problem, periodische Lösungen von Hamiltonschen Systemen und nichtlineare Wellengleichungen zur Diskussion. Im zweiten Kapitel werden instabile kritische Punkte von Variationsproblemen mithilfe von Minimax-Methoden wie den verschiedenen Formen der Palais-Smale-Bedingung und des Mountain-Pass-Lemma sowie der Index- und der Ljusternik-Schnirelman-Theorie untersucht. Die theoretischen Resultate werden auf Fragen aus der Theorie der Hamiltonschen Systeme und semilinearer elliptischer Differenzialgleichungen angewendet. Das abschließende dritte Kapitel beschäftigt sich mit einigen Grenzfällen der Palais-Smale-Bedingung. Es enthält unter anderem Untersuchungen zum Yamabe-Problem und harmonischen Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Die Liste der Referenzen umfasst die meisten klassischen und neueren Arbeiten, welche zu der Entwicklung dieser Theorie wesentliche Beiträge geleistet haben.
Das Buch richtet sich hauptsächlich an Mathematikstudenten höherer Semester und Doktoranden, aber auch an Wissenschaftler, die sich in moderne mathematische Variationsmethoden einarbeiten wollen. Es soll den Leser möglichst schnell an die aktuelle Forschung heranführen, ohne sich in technischen Details zu verzetteln. Aus diesem Grund werden nur die wesentlichsten Aspekte der Theorie der Variationsprobleme behandelt, einige Beweise sind nur skizziert und technische Details manchmal weggelassen. Die allgemeinen abstrakten Resultate wechseln sich ab mit Anwendungen auf spezielle Probleme. Die Tatsache, dass dieses Buch bereits innerhalb von zehn Jahren bereits in der dritten Ausgabe erscheint, zeugt von seiner Beliebtheit und von dem Bemühen des Autors, neuere wissenschaftliche Entwicklungen aufzunehmen. –Marius Bochniak