Общая топология. Основные конструкции

Федорчук В.В., Филиппов В.В.592210618X

В учебном пособии, представляющем собой изложение курса лекций, читаемых авторами на механико-математическом факультете МГУ, рассмотрены основные понятия теории топологических пространств: спектры, произведения
и степени топологических пространств, пространства замкнутых и бикомпактных подмножеств, пространства отображений и др., и их приложения к другим областям математики.
Для студентов математических специальностей вузов.

---

Table of contents :
Предисловие ………..6
Глава I. Топологические пространства ……..9
§ 1. Топологические пространства и непрерывные отображения…….. . 9
§ 2. Аксиомы отделимости. Лемма Урысона. Теорема Брауэра-Титце-Урысона о продолжении функций …………15
§ 3.Метрические пространства. Полные и топологически полные пространства. Некоторые стандартные метрические пространства …………..22
§ 4. Бикомпактные пространства. Лемма Александера. Теорема Вейерштрасса-Стоуна. Компактность в метризуемых пространствах ………….34
Глава II. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ ………….45
§ 1. Определения произведения топологических пространств и отображений ……….45
§ 2. Послойное и веерное произведение отображений и пространств ………..48
§ 3. Теоремы Тихонова ……………50
§ 4. Примеры топологических произведений и следствия из теорем Тихонова. Бикомпактные расширения ………….55
§ 5. Операции над покрытиями. Нульмерные и n-мерные пространства …………….64
§ 6. Диадические бикомпакты ……………..73
Глава III. ОБРАТНЫЕ СПЕКТРЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ ………………..88
§ 1. Определение и элементарные свойства обратных спектров . ……………. 88
§ 2. Связь спектров и произведений ……………..100
§3. Теорема о спектральном представлении отображений ……………….105
Глава IV. ПРОСТРАНСТВА ЗАМКНУТЫХ ПОДМНОЖЕСТВ …..110
§ 1. Верхний и нижний пределы последовательности множеств ………….110
§2. Предел сходящейся последовательности множеств …………115
§ 3. Топология Виеториса ………….116
§ 4. Пространство ехрX ………….124
§5. Пространство замкнутых подмножеств бикомпакта ……………125
§6. Пространство бикомпактных подмножеств …………127
§ 7. Метрика Хаусдорфа ………………128
§ 8. Заключительные замечания …………..133
Глава V. ПРОСТРАНСТВО ОТОБРАЖЕНИЙ …………136
§ 1. Метрика и норма равномерной сходимости ………………136
§ 2. Бикомпактно-открытая топология и топология поточечной сходимости в пространстве непрерывных отображений …………….138
§ 3. Бикомпактно-открытая топология пространства отображений локально бикомпактного пространства …………….143
Глава VI. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ …………….146
§ 1. Полунепрерывные снизу отображения ……………146
§ 2. Полунепрерывные снизу отображения с выпуклыми значениями ………….149
§3. Симплициальные комплексы и нервы покрытий ……………153
§ 4. Экви-LCn-семейства ……………….158
§ 5. Полунепрерывные снизу отображения в банахово пространство со значениями из экви-LCп-семейства …………….165
§ 6. Теорема о продолжении селекции для отображения со значениями из экви-LСп-семейства …………….173
§ 7. Полунепрерывные сверху отображения ……………177
§ 8. Связь с топологией Виеториса ……………182
Глава VII. КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКТОРЫ В КАТЕГОРИИ БИКОМПАКТОВ ……………..184
§ 1. Функторы экспоненциального типа ………….184
§2. Экспоненты канторовых дисконтинуумов …………..189
§3. Пространство мер. Функторы вероятностных мер ……………192
§ 4. Функтор суперрасширения …………….206
§5. Нормальные и монадичные функторы ………………213
Глава VIII. ПРОСТРАНСТВА ДУГУНДЖИ И ПРОСТРАНСТВА МИЛЮТИНА ……………….227
§ 1. Теорема Хана-Банаха и тензорное произведение мер …………….227
§ 2. Регулярные операторы ……………..230
§3. Операторы продолжения и усреднения ……………..233
§ 4. Пространства Милютина …………….238
§5. Пространства Дугунджи и нуль-мягкие отображения ……………..244
§ 6. Несовпадение классов Милютина и Дугунджи ……………..256
Глава IX. ПРОСТРАНСТВА ЧАСТИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ……………..262
§ 1. Пространства частичных отображений ………………262
§2. Компактность в пространстве частичных отображений ……………….271
§ 3. Непрерывность зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от начальных условий и правой части ……………….281
§ 4. Сходимость последовательностей пространств решений ……….. 289
§ 5. Теорема Кнезера ………………..296
§ 6. Автономные и близкие к ним пространства …………….303
§ 7. Теорема о существовании стационарной точки ……………310
§ 8. Теорема Пуанкаре-Бендиксона ……………..315
§ 9. Некоторые геометрические свойства пространств решений . ……………. 323
§ 10. Заключительные замечания ………………..327
Список литературы ……………….331